數形結合思想在數學教學中的應用

摘 要： 數形結合就是根據數與形之間的對應關系，通過數與形的相互轉化來解決數學問題的思想。數形結合的思想是數學的重要思想之一。本文介紹了這種思想的應用及掌握。

關鍵詞： 數形結合思想 數學教學 應用

1.引言

數學是以現實世界的空間形式和數量關系作為自己特定的研究對象，也就是說，數學是研究“數”與“形”及其相互關系的一門科學。數形結合的思想是數學的重要思想之一。

數形結合的思想，就是將復雜或抽象的數量關系與直觀形象的圖形在方法上相互滲透，并在一定條件下相互補充、轉化的思想。恩格斯曾說過：“純數學的對象是現實世界的空間形式和數量關系，‘數’和‘形’是數學中兩個最基本的概念，它們既是對立的，又是統一的，每個幾何圖形中都蘊含著與它們的形狀、大小、位置密切相關的數量關系；反之，數量關系又常常可以通過幾何圖形作出直觀的反映和描述。”數形結合的實質就是將抽象數學語言與直觀圖形結合起來，使抽象思維和形象思維結合起來，在解決代數問題時想到它的圖形，從而啟發思維，找到解題之路；或者在研究圖形時，利用代數性質解決幾何問題［１］。因此，數形結合思想應用分為兩種情況：一是借助于數的精確性來闡明形的某些屬性，即“以數論形”，比如給出一個三角形三邊為3、4、5，則我們要想到這個三角形是直角三角形；二是借助于形的幾何直觀性來表示數之間的某些關系，即“以形促數”，這樣的例子數不勝數。

在數學教學中，數形結合思想偏重于將某些抽象的數學問題直觀化、生動化，能夠變抽象思維為形象思維，這樣就有助于把握數學問題本質。另外，由于使用了數形結合的方法，很多問題便迎刃而解且解法簡潔。數形結合的思想方法應用廣泛，常見的如求函數的值域、最值問題，解方程及解不等式，或是求復數和三角函數方面。運用數形結合思想，不僅容易直觀地發現解題途徑，而且能避免復雜的計算與推理，很大程度上簡化了解題過程，這在解選擇、填空題時更顯其優越。因此，教師要幫助學生逐步樹立起數形結合的觀點，將這一觀點扎根到學生的認知結構中去，成為運用自如的思維工具。

以下從四個方面說明如何熟練地運用數形結合思想來解決數學中的許多問題。

2.數形結合的應用

2.1函數與圖像的對應關系

例1：x，y滿足25x+9(y-2)≤225，求函數μ=的值域。

分析：由題設可知，動點P(x，y)在橢圓+=1內部（包括邊界），在直角坐標系中取定點C(0，-5)。由圖1可知，μ可以看作是點P與點C的距離。當點P與橢圓的上頂點B重合時，μ取得最大值12；當點P與橢圓的下頂點B重合時，μ取得最小值2。故原函數值域是2≤μ≤12。

2.2方程與曲線的對應關系

例2：a為何值時，方程y=與x+y-2ax+a-1=0只有三組公共解，并求其解。

分析：本題單純用判別式解不能解決問題，必須考慮其隱含條件，如用幾何解法就比較容易挖掘隱含條件。

解：在直角坐標系中畫出拋物線y=x，再考慮畫圓(x-a)+y=1。如果圓心是(a，0)，半徑是1的圓與拋物線在軸上方有一個公共點，則根據它們的對稱性，在x軸下方也有一個公共點，由于所求的是三個公共點，因而，還有一個公共點必然是原點。（如圖2）

顯然，只有a=1時，圓與拋物線在原點相切且與拋物線相交。此時，y=x(x-1)+y=1的解為x=0y=0，x=y=，x=y=-。

從上例可見，在很多題中，往往要通過邏輯推理及計算給予支持，即把“數”與“形”結合起來求解［２］。華羅庚先生曾這樣形容“數”“形”的關系：“數形本是相倚依，焉能分作兩邊飛？數缺形時少直觀，形缺數時難入微。數形結合百般好，隔離分家萬事休。幾何代數統一體，永遠聯系莫分離。”［３］這是對數形結合思想方法最通俗、最深刻的剖析。

2.3等式或代數式的結構含有幾何意義

例3：解方程組9x+25y-100y=125 ?搖?搖 ①(x-4)+(y-2)=9?搖?搖?搖?搖?搖?搖?搖?搖②

分析：將方程①變形為+=1，它的圖形是以(0，2)為中心，長半軸為5，短半軸為3的橢圓。

設P(x，y)是橢圓上的任一點，方程②表示動點P(x，y)到定點F(4，2)的距離等于3，而定點F(4，2)是橢圓的右焦點，因而|PF|是橢圓的焦半徑。則P到另一焦點的距離|PF|=2×5-|PF|=7，所以有(x+4)+(y-2)=7，此式與方程②聯立得x=，從而得出y=+2或y=+2。

故原方程組的解為x=y=+2或x=y=-+2。（如圖3）

對于此類等式或代數式的結構含有幾何意義的問題，在教學中教師可引導學生遵循以下三個步驟來達到解決的目的：（1）觀察問題中式子的結構是否具有幾何特征；（2）根據代數問題的幾何特征去發現代數與幾何知識間存在的新關系；（3）抓住這個新關系，啟發學生擺脫傳統思維模式的束縛，向多角度、多結構、多側面的思維方向去研究問題，探尋解決問題的最佳方案［４］。

2.4解析幾何

解析幾何是用代數方法來研究幾何圖形的一門學科，因此，數形結合必然是研究解析幾何問題的重要手段。

例4：橢圓的極坐標方程為ρ=，則它在短軸上兩個頂點的極坐標是（?搖?搖?搖?搖）。

A.(3，0)，(1，π)?搖?搖?搖?搖?搖?搖?搖?搖?搖?搖?搖?搖?搖?搖B.(，)，(，)

C.(2，)，(2，)?搖?搖?搖?搖?搖?搖?搖?搖D.(，arctan)

分析：把橢圓方程變形為ρ=，由上式得橢圓離心率e=。如圖4，在極坐標系中，設橢圓短軸端點為B、B，長軸端點為A、A′，左焦點即是極點O，則其離心率e=恰好是短軸端點的極角余弦，即e==cos∠BOA（或cos∠B′OA）。因此，由cos∠BOA=，可得∠BOA=，即點B和B′的極坐標中，極角分別是和。在本題所給四個選項中只有C符合上述結果，據此就可否定A、B、D，而選C。

在處理解析幾何問題時，我們應更加重視數與形的結合，既要充分發揮以“數”解“形”的解析幾何的基本思想，又應時時注意數式推導的幾何背景。本題的解法抓住橢圓中的幾何意義，溝通了離心率與短軸端點極角的關系，從而避免了常規解法中的繁瑣運算。

通過對上述例題的分析解答，我們可以發現利用數形結合的方法能使問題化繁為簡、化難為易、化隱為顯，輕松快捷地使問題得到解決。

3.數形結合思想的掌握

數形結合思想應用的廣泛性及優點，我們已從前面的分析總結中得以知曉。因此，要很好地掌握數形結合的思想，我們應注意以下幾點：

（1）要善于觀察圖形，對圖形中蘊含的數量關系要有一定的認識；

（2）正確繪制圖形，盡量清晰地反映圖形中相應的數量關系；

（3）把握“數”與“形”的對應關系，以“形”感知“數”，以“數”認知“形”；

（4）靈活應用數、形的轉化，提高思維的靈活性與創造性。

參考文獻：

［1］曾勁松.高考數學總復習第三講：數形結合.深圳中學，2003.

［2］賀信淳，李平.試談數形結合思想在高考中的應用.數學通報，1997，4.

［3］徐有政.略論數學形象思維.數學通報，1999，9.

［4］鐘煥清.代數問題的幾何解法.數學通報，1990，6.