典型概率問題的解法辨析

在概率的教學中，學生會從多種角度思考問題，并得出多種解法。然而問題就在這里，由于概率是獨立一章，學生剛剛學習時，對概念的把握不是很清楚，因此分析概率題時就會出現一些似對非對的想法。下面我就自己在教學中遇到的兩個典型概率題進行辨析，希望對于學生學習概率有幫助。

問題一：甲乙兩隊進行網球總決賽，比賽規則是：五局三勝制，即甲隊或乙隊誰先累計獲勝三局比賽，該隊就是總決賽的冠軍。若在每局比賽中，甲獲勝的概率均為0.6，每局比賽必須分出勝負，且每局比賽勝或負不影響下一局比賽的勝負，求甲隊獲得冠軍的概率。

解法一：分析：甲要獲勝說明甲分別打完3局、4局、5局才取勝。甲打3局取勝，說明打3局甲均取勝；甲打4局取勝，說明甲第4局勝，前3局中勝2局敗1局；甲打5局勝說明第5局勝，前4局中2局勝2局敗。

解：設甲隊獲得冠軍為事件A，則A包含比賽三局、四局、五局獲得冠軍的三種情況，且它們彼此互斥，

解法二：分析：甲要獲勝只要5局中有3局勝就行了。

兩種解法結果不一樣。有學生提出第三種解法。

解法三：設甲隊獲得冠軍為事件C，則C包含五局比賽中比賽勝三局、勝四局、勝五局三種情況，且它們彼此互斥，

第三種解法和第一種解法的結果是一樣的，怎樣解釋？這是數字的巧合呢，還是真有道理？為了讓學生打開困惑，我作如下辨析：

辨析一，我把問題中的數字更換為比賽規則是七局四勝制，即甲隊或乙隊誰先累計獲勝四局比賽，該隊就是總決賽的冠軍。用這兩種解法計算得到的結果是相同的。

辨析二，分析甲獲勝時有多少種情況。

第一種解法中設甲勝乙為事件A，則事件A包含：

如果從五局比賽整體考慮甲勝乙的情況：

第三種解法中設甲勝乙為事件C，則事件C包含：

對基本事件的分析，說明事件A與事件C是相同的兩事件，故所求概率必相等，所以第三種解法也是有道理的，從理論上講完全正確。但是在實際的比賽中，為了節省人力、物力，往往使用的是第一種解法的過程。通過此題的辨析，學生得到了一種解這類題的方法，學生可以用不同的解法檢查自己的答題的正確性。

問題二：袋中3只紅球，5只白球，現把球隨機地一只一只摸出來，摸出后不再放回，求第四次摸出的球是紅球的概率。

解法一：分析：把8只球看作互不相同，但僅將前4次摸出的球依次排成一排，每排法作為一個基本事件，那么基事件概率公式求。

解：記“第四次摸出的球是紅球”為事件A，

解法二：對同色球不加區別，即認為3只紅球都是相同的，5只白球也都是一樣的，把所有球一一摸出，基本事件解法二關注的僅僅是前4次的摸球，顯然考慮問題片面，不符合等可能事件的概率公式中的m，n的求法。所以第二種解法需要修改。

正確解法：考慮前4次摸球的顏色（后4次也要分析到）分四類：

則基本事件共有n=56種。

又將第4次摸出地紅球的事件按前3次球的顏色（考慮后4次地情況）分三類：

說明對于等可能事件的概率問題要把握好基本事件的個數的求法，而對于球是否相同對概率的結果沒有影響。

上述概率問題的辨析過程告訴我們，在判定一數學題的解法是否正確，只滿足于計算結果是不行的，我們要學會從問題的本質入手，從最本質的最直觀的角度分析，才可以達到“柳暗花明又一村”的境地。我們要有嚴謹治學的態度，對學生的疑惑要從根本處講清楚，不能隨意把學生閃爍的智慧光芒熄滅。