極限思想在數學解題中的應用

極限思想方法是用極限概念分析問題和解決問題的一種數學思想，通過對問題的極端狀態的討論，避開了抽象復雜的演算，優化了解題過程和解題方法，降低了解題難度。本文以運動變化的觀點討論了極限思想在數學競賽中的應用，以開闊學生的視野，提高學生解題的技巧。

1.利用極限思想，簡化解題，深化思維

在求不等式的解集和變量的取值范圍問題中，利用極限思想來尋求解題的途徑，常常能達到簡化計算過程，化難為易，深化思維，使問題輕松獲解的效果。

例1（2004年全國高中數學聯賽試題）：不等式+logx+2＞0的解集是（）。

A.［2，3）B.（2，3］C.［2，4）D.（2，4］

簡析：本題為不等式解集問題，通常考查變數字母取其區間的端點和端點的極限情況。當x趨近2時，左邊結果趨近，且當x=2時，不等式有意義，排除B、D，又當x趨近于4時，不等式成立，排除A，因此答案選C。

例2（2004年高中數學聯賽四川賽區試題）：已知不等式m+（cosθ-5）m+4sinθ＞0恒成立，則參數m的取值范圍是（）。

A.0≤m≤4B.1≤m≤4C.0≤m或m≥4D.m≤0或m≥1

簡析：本題為參變量的取值范圍問題，當m趨近∞時，左邊結果大于0，排除A、B，又當m趨近1時，不等式不一定成立，排除D，因此答案選C。

評注：極限思想是特殊值法的延伸，它提供了從變量變化中研究趨勢的數學方法。減少計算量是使問題迅速、準確獲解的關鍵；利用極限思想，著眼于問題的極限狀態是減少計算量的重要途徑。

2.利用極限思想，優化解題，活化思維

在立體幾何問題中，利用運動變化的觀點對最大、最小、最近、最遠等特殊位置進行極端位置的考察，以達到發現問題的解題思路和問題結果的目的，活化思維，培養思維的靈活性。

例3（1992年全國高中數學聯賽試題）：設四面體的四個面

的面積分別為S，S，S，S，它們中的最大值為S，記 ，

則λ一定滿足（）。

A.2＜λ≤4B.3＜λ＜4C.2.5＜λ≤4.5D.3.5＜λ＜5.5

圖1

簡析：如圖1，不妨設底面ABC的面積最大，若四面體為正四面體，則λ取最大值為4；當頂點P無限趨近底面ABC時，則側面PAB、PBC、PCA無限趨近底面，則λ無限趨近于2。因此從以上兩種情況可得出結論，答案為A。

例4（1995全國年高中聯賽試題）：設O是正三棱錐P-ABC底面△ABC的中心，過O的動平面與正三棱錐P-ABC的三條側棱或其延長線的交點分別記為Q，R，S，則和式++（）。

A.有最大值而無最小值

B.有最小值而無最大值

C.既有最大值又有最小值，且最大值與最小值不等

D.是一個與平面QRS位置無關的常量

圖2

簡析：如圖2，考查動平面QRS，當動平面QRS無限趨近底面ABC，則和式++趨近++（定值）；當動平面QRS的點Q趨近A，R趨近PB的中點，則動平面QRS與直線PC平行，相交于無窮遠點，和式++趨近+（定值）。因此綜合以上兩種極限情況可得出結論：和式++是一個定值，答案為D。

例5（2004年全國高中數學聯賽試題）：在正n棱錐中，相鄰兩側面所成的二面角的取值范圍是（）。

A.（π，π）B.（π，π）

C.（0，）D.（π，π）

圖3

簡析：如圖3，設側面所成的二面角為α，當頂點無限接近底面時，α趨于π；當頂點離底面無限遠時，側棱無限趨于與底面垂直，此時，α無限趨于底面正n邊形內角π，所以，二面角α的取值范圍為π＜α＜π。本例棱錐高不定，可將頂點看作是運動變化的，運用極限思想，考慮兩種極限位置，從而使問題得到解決。

評注：將某些點或量看成是運動的點，應用極限思想考查運動變化的極限情況，使問題獲解。

3.利用極限思想，化動為靜，內化思維

在對于定點、定值等的平面幾何、解析幾何問題中，利用極限思想對條件的某種極限狀況進行考查，往往能探索出問題的結論，再將問題從極端情況過渡到一般情況，使復雜問題迎刃而解。

例6（1990年全國高中數學聯賽試題）：設雙曲線的左右焦點是F，F，左右頂點為M，N，若△PFF的頂點P在雙曲線上，則△PFF的內切圓與FF邊的切點位置是（）。

A.在線段MN的內部B.在線段FM內部或FN內部C.點M或點ND.不能確定

簡析：如圖4，F，F，M，N為定點，動點P在雙曲線上移動。當P無限趨于M或N時，則△PFF的內切圓與邊FF的切點位置無限趨于M或N；又當∠FPF=時，可計算出FP的長度等于F到△PFF的內切圓切線的長度，故猜想得C。本例為客觀題，有選擇性，采取上述方法簡化討論過程，當然此題可用常規方法，但運算量較大。

圖4

例7（IMO1959-2）：在定線段AB上任取一點M，在AB的同一側以AM，BM為邊，作正方形AMCD，BMEF，設這兩個正方形的外接圓的圓心分別為P，Q，這兩個圓交于M，N，求證：MN過某定點。

圖5

簡析：如圖5，設動直線MN過定點T，由于T的位置不知，可以考慮M的特殊位置。若M為AB的中點，則T必在線段AB的中垂線上；若M無限趨近于A，則N也無限趨近于A，圓P退化為點A，割線MN逐漸趨近于AB為弦的圓的切線AT。綜合分析，得出T的位置應是以AB為直徑的半圓弧的中點。結論改證：M、N、T三點共線。可證得N、C、B共線，得出∠ANB=，N在AB為直徑的圓上，又∠ANM=∠MNB=，得出要證明的結論。

評注：通過對研究對象的特殊位置和運動過程的動態分析，尋求出變化中的不變量，以獲得有益的啟示，做出合理的判斷，達到以靜制動、動中求靜的目的。

4.利用極限思想，化動為靜，催化思維

在研究未指明形狀和位置的軌跡問題時，通過對一些特殊點和極限點等情況的研究來判斷軌跡的大致輪廓，是探求軌跡的一個極其重要的方法。

例8（2005年全國高中數學聯賽試題）：過拋物線y=x上的一點A（1，1）作拋物線的切線，分別交x軸于點D，交y軸于點B，點C在拋物線上，點E在線段AC上，且滿足=λ，點F在線段BC上，且滿足=λ，且λ+λ=1，線段CD與EF的交于點P，當C在拋物線上移動時，求點P的軌跡方程。

圖6

解析：如圖6，由題意計算知D為AB的中點，題目中涉及兩個變量λ，λ，考查問題的特殊情況和極限情況：（1）當λ=λ=時，則==，EF∥AB，點P為三角形ABC的重心；（2）當λ趨近于（等于）0，λ趨近于（等于）1，或當λ趨近于（等于）1，λ趨近于（等于）0時，點P仍為三角形ABC的重心。因此可以得出結論：點P為三角形ABC的重心。

圖7

對點P為三角形ABC的重心的證明也比較容易，如圖7，過A，B分別作EF的平行線交CD于H，N，則==λ，==λ，λ+λ=1，故+==1，DP=PC，點P為三角形ABC的重心。再根據重心的性質求出點P的軌跡方程為y=（3x-1），（x≠）。

評注：極限點、臨界點、特殊點是軌跡上的“靜點”，其他點看成是“動點”，通過對“靜點”的情況研究來把握“動點”的變化，以求“動中求靜，以靜窺動”。

極限思想是一種基本而又重要的數學思想，從某種意義上體現了“量”變到一定程度轉化為“質”的變化過程。無限趨近的概念和性質雖然超出高中課本知識，但在教學過程中，教師應有意識讓學生掌握和運用極限思想，如此既可以加深對極限概念的理解，有助于培養學生的發散思維、收斂思維和邏輯思維能力，又可以開闊學生眼界，增強其創新意識和創新能力。

參考文獻：

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