乘法公式的巧妙應(yīng)用

在初中《數(shù)學(xué)》新教材中的乘法公式有兩個，一個是平方差公式，另一個是完全平方公式。掌握了公式的基本特點就可以快捷高效地解題。在掌握時我們要注意兩點，一是a、b的廣泛代表性，二是公式中各項的關(guān)系及整個公式的結(jié)構(gòu)特點。現(xiàn)舉例說明：

一、平方差公式的應(yīng)用

例1：計算（a＋b－m＋n）（a－b－m－n）。

分析：兩個括號里的項數(shù)相同，a、m的符號相同，相當(dāng)于公式中的a；b、n的符號相反，可看作是公式中的b。

解：原式＝［(a－m)＋(b＋n)］［(a－m)－(b＋n)］

＝(a－m)－(b＋n)。

例2：計算（m＋3）(m－3)(m＋9)＋(m＋81)(m－81)。

分析：直接計算很麻煩，技巧很重要。因為（m＋3）（m－3）滿足平方差公式，將(ab)＝ab加以逆用即可得到簡便的方法。因為預(yù)見到式子中會有81和-81，所以保留81不算。

解：原式＝［（m＋3）(m－3)(m＋9)］＋m－81

＝［(m－9)(m＋9)］＋m－81

＝(m－81)＋m－81

＝m－162m＋81＋m－81

＝2m－162m。

例3：填空：

1.（4＋3y）（－3y＋4）=16－9y。［分析：（3y）=9y，同時這里的兩項符號要相反。］

2.（-0.5＋0.2x）（0.2x＋0.5）=0.04x－0.25。［分析：填相同的一項，由（0.2x）＝0.04x易得。］

3.（x－y＋z）［z－(x－y)］=z－(x－y)。［分析：由結(jié)果可以知道，z項相同，另一項為x－y的相反數(shù)－(x－y)。］

二、完全平方公式的應(yīng)用

例1：如果x＋y＝5，xy＝12，求x＋y。

分析：由（a＋b）=a＋2ab＋b，（a－b）=a－2ab＋b可以得到a＋b=（a－b）＋2ab=（a＋b）－2ab，據(jù)此x＋y=(x＋y)－2xy=52－2×12=28。

例2：完全平方公式在填空中的應(yīng)用。

分析：以下的題主要訓(xùn)練學(xué)生在學(xué)習(xí)公式時一定要靈活運用，要理解項與項之間的關(guān)系。

9a＋6ab＋b=(3a＋b)

a－10a＋25=(a－5)

25xy－20xy＋4xy=(5xy－2xy)

例3：完全平方公式的推廣。

我們已經(jīng)知道（a＋b＋c）=a＋b＋c＋2ab＋2bc＋2ac，所以把它作為一個公式直接來用，如（x－y－z）=x＋y＋z－2xy－2xz＋2yz。

練習(xí)：計算（a＋2b－3c）。

例4：兩個正方形的周長之和為36cm，面積之差為72cm，求這兩個正方形的邊長。

分析：設(shè)這兩個正方形的邊長分別為acm、bcm，由題意可得：

4a＋4b=36 （1）a－b=72 （2）

由（2）可得（a＋b）(a－b)=72 （3）

由（1）得a＋b=9（4）

把（4）代入（3）得a－b=8 （5）

把（1）、（5）組成方程組可以解出a、b。

例5：已知（a＋b）=14，(a－b)=6，求ab。

分析：這里要求的ab存在于（a＋b）、（a－b）中，所以可把已知條件分別展開構(gòu)成方程組，把a＋b和ab作為整體，

a+2ab+b=14 （1）a-2ab+b=6 （2）

(1)-(2)得：4ab=8，ab=2。

通過例4、例5可以看到乘法公式與其他知識的有機(jī)聯(lián)系更有利于我們靈活多變地解題。

例6：已知：3(a+b+c)=(a+b+c)，求證:a=b=c。

分析：這里首先要把(a+b+c)加以展開，針對題中的等式進(jìn)行變形。

解：3a+3b+3c=a+b+c+2ab+2ac+2bc

2a+2b+2c-2ab-2ac-2bc=0

(a-2ab+b)+(b-2bc+c)+(c-2ac+a)=0

(a-b)+(b-c)+(c-a)=0

所以a-b=0b-c=0c-a=0

即：結(jié)論成立。

總之，只要我們掌握了基本知識，開動腦筋，多有意識地尋求知識之間的關(guān)系，無論多么復(fù)雜的題目都會被解決。