高等數學中的初等方法

摘 要： 初等數學方法在高等數學中有著廣泛的應用。從初等數學的角度來思考高等數學中的問題對于高等數學的學習非常重要。這種思維在培養學生觀察分析能力的同時，可使學生將所學數學知識融會貫通，提高學生的數學素養。本文通過數道例題對初等方法在高等數學中的應用技巧作一分析。

關鍵詞： 高等數學教學 初等方法 應用技巧

初等數學是高等數學的基礎，初等數學的很多知識點在高等數學中有著廣泛的應用。因此，在高等數學教學中，教師巧用初等數學的知識與方法，注意引導學生思考例題的初等解法，不僅可以豐富高等數學的教學內容，而且能使學生將所學數學知識融會貫通，提高學生的數學素養。本文通過數道例題，對初等方法在高等數學中的應用技巧作一分析。

一、極限與導數運算中的初等方法

例1：已知：x=，x=，x=，x=，求x。

高數授課傳統解法:根據定理“單調有界數列必有極限”，首先證明數列{x}單調遞增，然后證明數列{x}有界，最后求極限。

初等方法：利用三角函數中的倍角公式。

解：x==2cos45°

x====2cos

x===2cos

x==2cos

所以：x=2cos=2。

例2：已知：y=，求y′。

高數授課傳統解法:利用復合函數求導法則結合除法公式求解。

初等方法：利用對數公式化簡后，再運用隱含數求導公式求解。

解：y=

兩邊同時取對數，得：

lny=［ln（1+x）+ln（1+2x）-ln（1-x）-ln（1-2x）］

兩邊同時對x求導，得：

y′=+++

即：y′=+++。

上述兩例題中，初等方法的應用在拓寬學生解題思路的同時大大簡化了高等運算。

二、極值應用題中的初等方法

例3：要求設計一個容量為1升，形狀如直圓柱的油罐，什么樣的尺寸用的材料最少？

高數授課傳統解法:

解：假設材料厚度均勻，則當油罐表面積最小時所需的材料最少。設油罐的底面半徑為r cm，高為h cm，則油罐的表面積A=2πr+2πrh，油罐的體積為πrh=1000，我們所需解決的問題是在滿足約束πrh=1000的條件下，使總的表面積盡可能小的r和h的尺寸。為了把表面積轉化為單變量函數，我們從πrh=1000中解出一個變量并帶入表面積函數，

得：A=2πr+2πrh=2πr+2πr（），

即：A（r）=2πr+，r∈（0，+∞）

求導得：A′=4πr-

令A′=0，得唯一駐點r=≈5.42

即，當r≈5.42時，A=2πr+取最小值，相應的h=2r≈10.84。故當所求1升油罐的直徑與高相等時使用材料最少，其中h≈10.84cm。

初等方法：利用算術平均不小于幾何平均的不等式，即：

≥（當且僅當a=a=…=a時等號成立）

解：A（r）=2πr+=2πr++≥3=300，即：對?坌x∈（0，+∞），A（r）≥300，當且僅當2πr=時等號成立。故當r=≈5.42時，A（r）=2πr+，取得最小值。

例4：通過從一個邊長12cm的方形硬紙板的四角切去全等的四個小正方形，再把四邊向上折起制作成一只無蓋的方盒子，四個角要切去多大的正方形才能使方盒子裝得盡可能多？

高數授課傳統解法：

解：設切去的正方形的邊長為x，則盒子的體積就是變量x的函數設為V（x），則：

V（x）=x（12-2x）=144x-48x+4x，其中0＜x＜6。

求導：V′（x）=144-96x+12x

=12（12-8x+x）

=12（2-x）（6-x）

令V′（x）=0，得定義域內駐點x=2。

所以，當x=2時V（x）取最大值V（2）=128，故最大體積為128cm，切去的小正方形的邊長應為2cm。

初等方法：同樣利用算術平均不小于幾何平均的不等式。

V（x）=x（12-2x）

=·4x（12-2x）（12-2x）

≤

=128

即對?坌x∈（0，6），V（x）≤128，當且僅當4x=12-2x時等式成立。即x=2時體積最大。

總之，初等數學方法在高等數學中的應用是比較廣泛的，從初等數學的角度來思考高等數學中的問題對于高等數學的學習非常重要。這種思維在培養學生觀察分析問題能力的同時，能使學生將所學數學知識融會貫通，提高學生的數學素養。因此，在高等數學教學中，我們應有意識地加強這方面的訓練。

參考文獻：

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［4］侯風波.高等數學.高等教育出版社.