討論幾種特殊的線性空間基的求法

基本數學方法隱藏于知識和技能之中，需要通過研究和總結才能獲得。求一般的線性空間的基是很困難的，下面筆者就幾種特殊的線性空間介紹其基的六種求法。

方法一：找出一組結構最簡單的元素，使V中任意元素能寫成它們的線性組合。如果能證這一組元素線性無關，則該組元素就是V的一組基。

例1：求下列線性空間的一組基。

（1）實數域R上的線性空間R；

（2）數域P上不超過n次的多項式加上零多項式所構成的線性空間P［X］；

（3）實數域的m×n矩陣所構成的線性空間M（R）。

解：（１）取R的一組結構最簡單的元素，ε＝［0，…，0，1，0，…，0］，i=1，2，…，n，第i個分量為1，其余分量為0，任取α=［x， x，x，…，x］∈R，則有α＝xε+xε+…+xε，又因為秩［ε，ε，…，ε］=n，故ε，ε，…，ε線性無關，從而ε，ε，…，ε為R的一組基。

（2）取P［X］的一組結構最簡單的元素1，x，…，x，任取f（x）=a+ax+…ax∈P［X］，顯然f（x）是它們的線性組合。若令a+ax+…+ax=0，可得a=a=…=a=0，故1，x，…，x為P［X］的一組基。

（3）取M（R）中一組結構最簡單的元素即第i行第j列元素為1其余元素為0的m×n矩陣E，i=1，2，…，m，j=1，2，…，n，則M（R）中任意矩陣A可表示成E的線性組合，A=aE+aE+…+aE，且E，i=1，2，…，m，j=1，2，…，n線性無關，于是E就是M（R）的一組基。

方法二：先求出線性空間V的維數n，然后找出n個元，證明它們線性無關。

例2：P［X］是數域P上次數小于ｎ的多項式加上零多項式所構成的線性空間，給定數a≠a≠…≠a，令ｆ（x）＝（x-a）（x- a）…（x-a），證明：多項式組是f（x）=（i=1，2，…，n）是P［X］的一組基。

證明：因P［X］是n維線性空間，為證多項式組是一組基，即證它們線性無關。因a，a，…，a互異，故f（a）≠0，f（a）=0，設kf（x）+kf（x）+…+kf（x）=0，當x=a時得到kf（a）=0，故k=0即f（x），f（x），…，f（x）線性無關。

方法三：行列式法。n維線性空間R中的一組向量α=［a，a，…，a］，i=1，2，…，n，為R的一組基，當且僅當行列式|a|≠0。如果已知R中一組線性無關的向量α，α，…，α（m＜n），欲求一組包含這組已知向量的基，可根據上行列式不等于零選取其他基向量。

例3：設α=［1，0，1，0］，α=［1，-1，2，0］，求含α，α的R的一組基。

解：以α，α為兩個行向量，再添補兩個行向量，使形成的4階行列式不等于零就行了。滿足這種要求的添補方法很多，最簡單的就是取ε=［0，0，1，0］，ε=［0，0，0，1］，作為后兩行，就能滿足條件。故αα，εε為R的一組基。

方法四：初等變換法。分量已知的生成元所生成的線性子空間可通過初等變換求出它的一個極大線性無關組，即為一組基。

例4：求R中由下列向量生成的子空間W的一組基。

α=［1，-1，0，1］，α=［0，1，2，-1］，α=［-1，0，1，0］，α=［1，-1，3，1］。

解：［α，α，α，α］經過初等行變換得矩陣10 0 2010100110000，易知α，α，α為α，α，α，α的一個極大線性無關組，也為所求的一組基，且α=2α+α+α。

方法五：解方程組法。生成元滿足方程組的子空間，其基就是方程組的一個基礎解系。

例5：求R的下列子空間W={［x，x，…，x］，x+x+…+x=0，x∈R}的一組基。

解：W的生成元分量滿足方程x+x+…+x=0，求得一個基礎解系為ξ=［-1，1，0，0，…，0］，ξ=［-1，0，1，0，…，0］，…，ξ=［-1，0，…，0，1，0］，ξ=［-1，0，…，0，0，1］，即為所求的一組基。

方法六：逐個選擇法。已知線性空間V的維數n及一組向量α，α，…，α，從中挑選一組基（k＞n）或添補若干個向量（k＜n），使之成為一組基，可用逐個選擇法。

當k＜n時：設α，α，…，ε線性無關，取V的一組基β，β，…，β，把β中能寫成α，α，…，α的線性組合的向量都去掉，把不能寫成α，α，…，α的線性組合的向量β，β，…，β留下，與α，α，…，α組成V的一組基。

當k＞n時：α，α，…，α中含n個線性無關向量，任取非零向量α，去掉與α成比例的所有向量，留下與α不成比例且編號最小的向量α；再去掉能寫成α，α線性組合的向量，留下不能寫成α，α線性組合且編號最小的向量α……如此繼續，最后去掉能寫成α，α，…，α線性組合的所有向量，留下不能寫成它們線性組合且編號最小的向量α，這樣得到的n個向量α，α，…，α，α線性無關，就是V的一組基。

例6：設α=［1，0，1，0］，α＝［1，-1，2，0］，求含α，α的R的一組基。（參見例3）

解：取R的一組標準基ε，ε，ε，ε，考察ε與α，α的線性關系。易求秩［α，α，ε］=3（i=1，2，3，4），故α，α，ε線性無關，但ε中不能寫成α，α線性組合且編號最小的向量是ε，則ε留下。再在ε，ε，ε中挑出不能寫成α，α，ε線性組合且編號最小的向量。因秩［α，α，ε，ε］=3，秩［α，α，ε，ε］=4（j=3，4），則ε留下，至此α，α，ε，ε構成R的一組基。

注：線性空間的基不唯一。

參考文獻：

［1］北京大學數學系.高等代數北［M］.北京：高等教育出版社，1988.

［2］魏獻祝.高等代數［M］.上海：華東師范大學出版社，1997.

［3］同濟大學數學教研室.線性代數［M］.上海：高等教育出版社，1998.

［4］毛綱源.線性代數解題方法技巧歸納［M］.武漢：華中科技大學出版社，1993.