一個典型的遞推公式（ａ_ｎ＝Ａａ_ｎ－１＋Ｂ型數(shù)列）的解題應(yīng)用

在近幾年的高考卷中，經(jīng)常會出現(xiàn)這樣一類數(shù)列問題：已知數(shù)列{a}，其首項(xiàng)為a ，且a =Aa +B（A≠0，A≠1，（A-1）a +B≠0，(n≥2，n∈N )，求該數(shù)列的某一項(xiàng)，或通項(xiàng)公式，或解答與該數(shù)列有關(guān)的問題。下面給出它的通項(xiàng)公式的推導(dǎo)過程。

設(shè)a +x=A(a +x)，則a =Aa +(A-1)x。

由恒等定理得(A-1)x=B，由于A≠1，所以x= ，

從而a + =A(a + )。

進(jìn)而知數(shù)列{a + }是首項(xiàng)為a + ，公比為A的等比數(shù)列，所以a + =(a + )A ，

即a =(a + )A - (*)

注：1.當(dāng)A=1時，數(shù)列{a }是公差為B的等差數(shù)列，其通項(xiàng)公式為a =a +(n-1)B。

2.A=0時，數(shù)列{a }是常數(shù)數(shù)列a =B。

例1（04海淀）：已知數(shù)列{a }的首項(xiàng)=a =a（a是常數(shù)，a≠-1），a =2a +1(n∈N，n≥2)。問{a }是否可能是等差數(shù)列，若可能，求出{a }的通項(xiàng)公式，若不可能，說明理由。

解：這個數(shù)列{a }是a =A{a }+B型的數(shù)列，由（*）式可得，a =(a+1)2 -1。

由于a+1≠0，所以{a }不是等差數(shù)列。

例2（05廣東）：已知數(shù)列{x }滿足x = ，x = (x +x )，n=3，4…

若 x =2，則x =()。

A. B.3C.4D.5

解：由遞推公式x = (x +x )，

得x = x

x = (x +x )

x = (x +x )

……

x = (x +x )。

將上面等式疊加可得x =- x +x 。由此可知，{x }是a =Aa +B型的數(shù)列。

由（*）式可知x =(x - x )(- ） + x ，

即x = x (- ) + x 。

由于 (- ) =0， x = x ，

所以 x =2，即x =3。選B。

例3（06福建）：已知數(shù)列{a }滿足a =1，a =2a +1(n∈N )。（1）求數(shù)列{a }的通項(xiàng)公式；

（2）證明： - ＜ + +… ＜ (n∈N )。

（1）解：數(shù)列{a }是a =Aa +B型數(shù)列，由（*）式易得a =2 -1。

（2）證明：先證不等式的右半部分：

因?yàn)?= ＜ = ，

所以 + +… ＜ 。

再證不等式的左半部分：

因?yàn)?= = - = - ＞ - ，

所以 + +… ＞ - ( + +…+ )= - + ＞ - ，證畢。

例4（07全國）：設(shè)數(shù)列{a }的首項(xiàng)a ∈(0，1)，a = ，n=2，3，4…。

（1） 求{a }的通項(xiàng)公式；

（2） 設(shè)b =a，證明b ＜b，其中n為正整數(shù)。

（1）解：a = =- a + ，該數(shù)列是a =Aa +B型數(shù)列，由（*）式易得a =(a -1)(- ) +1。

（2）證明：由（1）知0＜a ＜ ，所以b ＞0。b =a=，

b =，

那么b-b= ［a (3-a ) -a (3-a ) ］= ［a (3-a ) -（3-2a ）(2a ) ］= a (a -1) 。

由于a ≠1，且a ＞0，所以b-b＞0，即b ＜b ， n為正整數(shù)。

數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)的靈魂，從一般的數(shù)學(xué)問題中概括抽象出數(shù)學(xué)思想方法，反過來由數(shù)學(xué)思想方法來指導(dǎo)解答數(shù)學(xué)問題是數(shù)學(xué)課的實(shí)質(zhì)所在。布魯納說過，掌握基本的數(shù)學(xué)思想和方法可以使得數(shù)學(xué)更容易理解和更容易記憶，更重要的是領(lǐng)會基本數(shù)學(xué)思想和方法是通向遷移大道的“光明之路”，不但讓學(xué)生學(xué)習(xí)特定的事物，而且讓學(xué)生學(xué)習(xí)一般模式，模式的習(xí)得有助于理解可能遇到的其它類似事物，如果把基本數(shù)學(xué)思想和方法概括好了，在基本數(shù)學(xué)思想和方法的指導(dǎo)下，運(yùn)用數(shù)學(xué)方法駕馭數(shù)學(xué)知識，就能培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)概括能力。

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文。”