創(chuàng)新思維能力的培養(yǎng)應(yīng)以“逆向思維”為主

摘 要 在高中數(shù)學(xué)新課標(biāo)下，課堂教學(xué)應(yīng)以培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維能力為主導(dǎo)方向。數(shù)學(xué)思維能力是數(shù)學(xué)素質(zhì)的體現(xiàn)。本文就怎樣充分應(yīng)用“逆向思維”能力來培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維能力的問題作了探討。

關(guān)鍵詞 高中數(shù)學(xué) 逆向思維 創(chuàng)新能力

中圖分類號:G40-012文獻(xiàn)標(biāo)識碼:A

數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，有時發(fā)現(xiàn)學(xué)生缺少科學(xué)思維能力，對具體問題不能進(jìn)行具體分析，從而形成思維的“斷路”現(xiàn)象。因此，為了培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維能力，積極有效的引導(dǎo)學(xué)生的“逆向思維”，讓學(xué)生從正常思維中跳出來，“反過去”考慮，由根索源，激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新意識。

例1已知拋物線和雙曲線交于，求的斜率的取值范圍。

分析:設(shè)的坐標(biāo)分別為，則，下面需要設(shè)法求出的表達(dá)式。為此，將的坐標(biāo)分別代入拋物線方程與雙曲線方程，相減并化簡得:(1)與=(2)，設(shè)的中點(diǎn)坐標(biāo)為則由(1)式得(3) 由(2)式得=(4)但無論是(3)式還是(4)式，都無法直接求出的取值范圍，于是思路受阻，這時應(yīng)該“逆向”思維，暫時不求而去求，即將暫時看成常量，為此，聯(lián)立(3)，(4)解之，得，。

但此還不能求出的取值范圍。為此再次進(jìn)行“逆向”思維并“化數(shù)為形”，借助幾何直觀考慮問題。由幾何直觀可知，的中點(diǎn)在拋物線的內(nèi)域，因此其坐標(biāo)應(yīng)滿足下列不等到式0。化簡并解之得，，這就是弦的的斜率的取值范圍。

不難看出，正是基于“逆向”思維，才使我們繞過一道道障礙，并勝利地達(dá)到彼岸。足見“逆向”思維是學(xué)生沖破障礙的重要手段。因此我們應(yīng)當(dāng)通過解題注意這方面的訓(xùn)練，以培養(yǎng)學(xué)生的思維靈活性。要克服思維的單一性，就要打破常規(guī)，勇于探索，并能不斷創(chuàng)新。為此，就必須克服思維定勢，采用“逆向”思維。如:

例2設(shè)直線的參數(shù)方程是(為參數(shù))，橢圓的參數(shù)方程式是(是參數(shù))，問應(yīng)滿足什么條件，使得對于任意的值來說，直線與橢圓總有公共點(diǎn)?

分析:這是一道綜合題，當(dāng)時一般考生的思路是，先消參數(shù)得普通方程，再消去得如下的一元二次方程:

。Q為實(shí)數(shù)，

∴ (1)

由此不等到式出發(fā)，利用二次函數(shù)值非負(fù)的充要條件即可求得結(jié)果。由于該不等式次數(shù)較高，計算起來比較復(fù)雜，可能難倒許多學(xué)生。因此必須引導(dǎo)學(xué)生轉(zhuǎn)換思維，不消參數(shù)而改消。于是原參數(shù)方程，得acos，sin，聯(lián)立兩式并消去，得cos)sin。將其按正、余弦歸類整理得:

sin=cos=;將其與已知的三角公式類比，得sin()=;(其中tan)于是有=|sin(|≤1。化簡整理，得(2)不等到式(2)比不等式(1)簡單多了，由此求解毫無困難。由二次函數(shù)值非負(fù)的充要條件，即得。及綜合，得這就是所需滿的條件。

學(xué)生從中體會到解法的新鮮與思維的獨(dú)特。這時趁熱打鐵，再提出運(yùn)用逆向思維突破數(shù)式轉(zhuǎn)換的束縛，改從圖形直觀入手，則由直線與軸的交點(diǎn)必在橢圓內(nèi)或橢圓上這一幾何特點(diǎn)，可以更加簡便地求得上述結(jié)果。將橢圓的參數(shù)方程化為普通方程，得。Q直線與軸的交點(diǎn)為(0，)，而該點(diǎn)在橢圓內(nèi)或橢圓上，∴應(yīng)有下式成立:。即得，所以就有。因此創(chuàng)新思維的結(jié)果給數(shù)學(xué)帶來了生機(jī)。

創(chuàng)新思維還表現(xiàn)在思維的發(fā)散上，因此運(yùn)用“逆向”思維進(jìn)行發(fā)散思維的訓(xùn)練。如:

例3已知，求證:。

分析:比較條件，發(fā)現(xiàn)兩者的差異只是將互換，于是根據(jù)“逆向思維”應(yīng)該設(shè)法消去差異。為此，必須有sinsin，coscos，從而有tantan。下面只需設(shè)法證明這些猜想結(jié)論即可。

思考1 首先將條件式中的正弦轉(zhuǎn)為正余割，得再化為，最后化為于是有。

思考2上述證法是在原式次數(shù)較高的情況下作出的，因而運(yùn)算較繁，我們不應(yīng)滿足于此，而應(yīng)通過回顧去靈找較簡的證法。要做不予考慮這一點(diǎn)，降次是個有效的途徑。

為此，將條件式化為，通分化簡，得。

思考 3 以上的做法均是從局部考慮入手的，如果改從整體考慮入手，則還可以另辟蹊徑。由于從整體上看，條件與結(jié)論都成平方和等到于1的形式，因此可與圓的方程類比。從而過()在圓上，因此點(diǎn)的切線的方程為。

設(shè)有點(diǎn)，則點(diǎn)在圓上，又點(diǎn)坐標(biāo)滿切線的方程，故點(diǎn)在上，所以兩點(diǎn)重合。從而，。即，。

逆向思維是創(chuàng)新的動力與源泉，在數(shù)學(xué)解題中合理地運(yùn)用逆向思維，將大大地提高學(xué)生的創(chuàng)新思維能力。