淺談職業中學函數概念的教學

函數是反映客觀世界數量關系和變化規律的一種重要模型，它的學習一直是中學階段數學學習的一個重要內容。學生對函數產生理性認識應該基于函數概念的學習。追溯函數概念的形成與發展，大致經歷了三個階段：變量說、對應說、關系說。它的形成與發展至少在牛頓、萊布尼茨創立微積分之前，其形成的歷程是漫長與曲折的，貫穿于整個近現代數學的發展過程。正如其形成與發展的歷史一樣，學生對函數概念的認識與理解也是漫長與曲折的。再者，職業中學學生函數基礎比較差，那么在職業中學數學教學中應如何引導學生認識與理解函數概念呢？

一、返璞歸真借助數學史，激發學生學習函數概念的興趣

傳統數學教材強調完美的邏輯，嚴密的推理，注重數學知識的傳授，數學技能的訓練，缺乏生氣。學生淹沒在成堆的定理、公式、法則中，使許多學生感到數學索然無味，難以引起學生的數學興趣和學習的主動性。要改變學生心目中數學的這種枯燥性，我們需要運用數學技能之外的歷史文化知識。返璞歸真，借助數學史，以激發學生學習函數概念的興趣。新教材的編寫中創設了許多來源于生活實踐的數學問題，滲透了較多的數學史料，倡導學生自主探索、主動學習與學會學習的新課程理念，試圖讓學生對數學的概念、定理、公式、法則、思想產生親近感，從而較好地調動學生學習數學的熱情與積極性。

案例1：函數概念的形成發展經歷了三個階段：“變量說 ( 17 世紀 )、對應說 (19世 紀 )、關系說 (20世紀 ) ”。我國中學教材只采用了前兩種定義方式，這兩種方式既原始又直觀而生動，較好地體現了函數的運動變化與對應的思想。這三個階段歷時 4個世紀，是數學前輩不斷修正、總結、概括形成的思想精華。這一歷史發展過程也應更好地體現在我們的中學數學教學過程中，即在初中學習“變量說”的函數概念，在高中進一步學習“對應說”的函數概念，這恰好體現了社會個體對函數的認知與人類認識函數的歷史是一致的。人的認識是隨著

時代的進步而不斷發展的，必須適應時代的要求。

二、自主探究，突破函數概念

建構主義的認知理論告訴我們，知識結構是教學內容及其組織形態，對學生的認知來說是外在之物，學生只有通過學習將它們轉化為自己掌握的東西后才能變為內在之物。學生認知結構的發展就好比是一座大城市，其郊區正在不斷地或多或少、有些混亂地延伸、擴展；此時市中心又在不斷地改造與擴建，每次的改造依據一定的布局和計劃，直至修筑起更寬、更直、更便捷的交通大道。

(1) 創設問題情景，引發認知沖突。教師要盡量通過創設各種問題情景，引發認知沖突。 在初中，學生把“函數”理解為“依一定規律依賴于一個變量的變量”，即函數的“變量說”。他們確認y=x，y=k/x，y=ax2+bx+ c才是函數，因為y隨著x的變化而變化的規律非常具體與明確。簡言之，函數y應當是用含x的數學運算式子來表達的。實踐調查表明，有相當一部分學生認為函數與關系式 (表達式 ) 是同義詞，這可能與教科書上函數的表示以解析式為主有關，也可能與教師的引導有關。

案例2：下列式子是否表示為函數? ①y=2，②f( x)=1， x∈Q，③y=0，x∈C（R、Q）y=2x+3， x∈{1，2，4，8，16}。這類式子是否表示為函數，絕大多數的高一學生無從判斷，因為這顯然與初中的“變量說”的定義不太吻合，學生感到疑惑。在課堂教學時，可以通過這些函數實例引發學生的認知沖突和矛盾的“心理”，促使學生積極自主探索，幫助學生自我反省，促進學生新的認知生長，讓學生知道“變量說”強調的是兩個變量及變域——自變量與因變量、定義域和值域，而對函數的實質——“對應”，缺少充分刻畫，這就是“變量說”的不足之處。與此同時，讓學生知道解析法、列表法和圖像法都是用來表示函數關系的，而且不是所有的函數必須有解析表達式，也不是每一個函數都可以畫出它的圖像。

（2）創造“理解”，暴露函數概念的再創造過程，幫助學生構建初步的函數認知結構。數學教師不同于數學家的一個方面在于：我們不需要創造新的概念，而是要創造“理解”。暴露函數概念的再創造過程，要善于將數學概念的抽象定義的含義轉換成易于學生理解與運用的心理認知結構。故而，在函數概念的“映射”章節的教學中，我們應以學生的經驗性、自發性概念為基礎，尊重學生、相信學生、自主探究，擯棄包辦代替的教學方法，讓學生通過自己的活動來學習。以具體實例為出發點，化抽象為具體，幫助學生構建“映射”這一概念中體現的“對應”思想：“一對一”與“多對一”。

在函數概念的教學過程中，教師對函數概念的知識有較全面的理解與認識，具有一個廣闊的熟悉的“視界”。對高一的學生來說，他們對函數概念的認識還是比較粗淺，學生具有狹窄的“視界”。學生在學習中，疑問的產生主要不是表現在課堂聽講上，而常常體現在課后練習和對學習材料的加工、內化過程中。這正如歷史上數學家對函數概念的認識一樣，學生對函數概念的認識過程具有長期性、迂回性。豐富學生的學習方式、改進學生的學習方法是高中數學課程追求的基本理念。學生的數學學習活動不應只限于對概念、結論和技能的記憶、模仿和接受，獨立思考、自主探索、動手實踐、合作交流、閱讀自學等都是學習數學的重要方式。當學生在學習活動中，體驗到獲取知識的快樂的同時，激發了學習的興趣，促使學生自覺想數學、學數學、做數學，使學生感到知識就是在自己的探索與創造活動中發生的。

（泰興市職業教育中心學校）