積分學中的對稱性問題

摘要本文通過一元函數積分學中的奇偶對稱性問題，推廣到了二元及二元以上的多元函數，并得到了圓域上二重積分及球形區域上三重積分的輪換對稱性。

關鍵詞多元函數奇偶對稱性輪換對稱性

中圖分類號:O172文獻標識碼:A

積分學是微積分的主要內容，也是高等數學的主要組成部分。如果能掌握積分學中的對稱性問題，將使某些運算變得非常簡單。在一元積分問題中有:

引理1 (1)若f(x)在上連續且為奇函數，

則;

(2)若f(x)在上連續且為偶函數，

則。

實際上，上述引理也適用于二元及二元以上的多元函數:

定理1設f(x，y)是區域D上的連續函數，

(1)若f(x，y)是關于y的奇函數，D是關于x軸上下對稱的，則;

(2)若f(x，y)是關于x的奇函數，D是關于y軸左右對稱的，則;

(3)若f(x，y)是關于y的偶函數，D是關于x軸上下對稱的，則，其中D1是D在x軸上方的一部分;

(4)若f(x，y)是關于x的偶函數，D是關于y軸左右對稱的，則，其中D1是D在y軸左方的一部分.

證明:(僅證(1)) 設D=D1+D2，

解:由于積分區域D關于x軸上下對稱，，關于y是奇函數，所以;又D關于y軸左右對稱，5xy2關于x是奇函數.從而，原式=.

類似地，對于三重積分，有

推 論1若關于面上下對稱(左右對稱，前后對稱)，關于z(y，z)是奇函數，則.

推論2若積分區域是球形區域:，則

例2 求

解:由于關于面上下對稱，2xz關于z是奇函數，則;又關于xoz面左右對稱，關于y是奇函數，則.因此，原式=