例談曲線的切線方程的類型與解法

摘要： 求曲線的切線方程是導數的重要應用之一，在近幾年的全國高考試題中常有出現，但學生在解這類問題時經常出現偏差或錯誤，究其原因，主要是對曲線的切線的定義，導數的幾何意義等關鍵知識理解不透，對求曲線的切線方程的關鍵點把握不準。求曲線的切線方程的關鍵在于確定切點，只要切點確定，就可求出切線的斜率，從而求出切線方程。

關鍵詞： 曲線 切線方程 關鍵 類型

曲線的切線方程是導數的重要應用之一，在近幾年的全國高考試題中常有出現。在教學過程中，我發現學生在解這類問題時經常出現偏差或錯誤，究其原因，主要是對曲線的切線的定義、導數的幾何意義等關鍵知識理解不透，對求曲線的切線方程的關鍵點把握不準。

什么叫曲線的切線？如圖：當點P 趨近點P時，割線PP 趨近于確定的位置，這個確定位置的直線PT叫做曲線y=f（x）在點P處的切線，點P叫切點。特別要注意的是，曲線y=f（x）的切線不一定與曲線y=f（x）只有一個公共點，可能有多個公共點；切點一定是曲線與切線的公共點，但曲線與切線的公共點不一定是切點。

由導數的幾何意義可知，對可導函數y=f（x）而言，曲線y=f（x）在點P（x ，f（x ））處的切線的斜率等于函數y=f（x）在x=x 處的導數f′（x ）。

所以，求曲線的切線方程的關鍵在于確定切點，只要切點確定，就可求出切線的斜率，從而求出切線方程。如何確定切點？要具體問題具體分析。求曲線的切線方程的基本流程是：1.確定切點的坐標；2.確定切線的斜率；3.借助直線方程的“點斜式”求切線方程。求曲線的切線方程問題大致可分為以下幾種類型。

一、曲線、切點均確定型

例1.求曲線f（x）= 在點P（π，0）處的切線方程。

分析：題中給出“在點P（π，0）處”是指明切點的明顯標記。

解：∵f′（x）= ′=

∴曲線f（x）= 在點P（π，0）處的切線的斜率為

f′（π）= =-

則所求的切線方程為y-0=- （x-π），即x+πy-π=0。

變式：設曲線f（x）=1-e 與x軸相交于點M，求該曲線在點M處的切線方程。

分析：切點確定，但不具體，先求切點M的坐標，然后仿例1求解即可。

點評：曲線、切點均確定型，只需按求導數→求斜率→代入點斜式方程的順序就可求得切線方程。但當切點是曲線與坐標軸、直線或其它曲線的交點時，則應先求出切點。

二、切點確定，曲線未定型

例2.求曲線f（x）=ax-x 在點（1，3）處的切線方程。

分析：顯然點（1，3）是切點，切點一定是曲線與切線的公共點。

解：由點（1，3）在曲線f（x）=ax-x 上得3=a-1，即a=4，

則f（x）=4x-x ，f′（x）=（4x-x ）′=4-3x 。

曲線f（x）=4x-x 在點（1，3）處的切線的斜率為f′（1）=4-3=1，

則所求的切線方程為y-3=x-1，即x-y+2=0。

變式：若函數f（x）=ax +bx +cx在x=1時取得極0，求函數f（x）在點（2，2）處的切線方程。

分析：由函數f（x）在x=1時取得極0與點（2，2）為切點，得方程組f（1）=0f′（1）=0f（2）=0，先確定函數f（x）的表達式，然后仿例1求解即可。

點評：切點確定，曲線未定型，關鍵抓住“切點一定是曲線與切線的公共點”或其它的條件先求出曲線方程，從而歸結為類型一。

三、曲線確定，切點未定型

例3.求斜率為4且與曲線f（x）=x +2x-1相切的直線方程。

分析：題中沒有給出切點，但給出了切線的斜率，可設切點，再求切點。

解：設切點為M（x ，f（x ））

∵f′（x）=（x +2x-1）′=2x+2，由4=f′（x ）=2x +2得x =1，則f（x ）=1+2-1=2，即M（1，2），

∴所求的切線方程為y-2=4（x-1），即4x-y-2=0。

例4.求過點M（1，0）且與曲線f（x）=x 相切的直線方程。

分析：題中給出了點，但該點不是切點（點不在曲線上），可設切點。

解：已知點M（1，0）不在曲線f（x）=x 上，即點M（1，0）不是切點。

設切點為N（x ，x），顯然x ≠1，則所求切線的斜率為 。

又∵f′（x）=（x ）′=2x，由f′（x ）=2x = ，得x =0或x =2，

則所求切線的斜率為f′（0）=0或f′（2）=4，

∴所求的切線方程為y-0=0（x-1）或y-0=4（x-1），

即y=0或4x-y-4=0。

例5.求過點A（1，2）且與曲線f（x）=x+x 相切的直線方程。

分析：題中給出了點，該點也在曲線上，要分是切點、不是切點進行討論。

解：已點A（1，2）在曲線f（x）=x+x 上，

（1）當點A（1，2）是切點時

∵f′（x）=（x+x ）′=1+3x ，則所求切線的斜率為f′（1）=4，

所求的切線方程為y-2=4（x-1），即4x-y-2=0。

（2）當點A（1，2）不是切點時，設切點為B（x ，x +x），顯然x ≠1，則所求切線的斜率為 。

∵f′（x）=（x+x ）′=1+3x ，

由f′（x ）=1+3x= ，得x =- ，

則所求切線的斜率為f′（- ）=1+3×（- ） = ，

所求的切線方程為y-2= （x-1），即7x-4y+1=0。

點評：從例3、例4、例5可以看到“曲線確定，切點未定型”所涉及的情況稍顯復雜，但總結成下面的結構圖則可一目了然了。

這種類型一般的做法是：設切點為（x ，f（x ）），由切線的斜率等于函數f（x）在x=x 的導數f′（x ）先求出x ，從而求出切點（如例3）或切線的斜率（如例4、例5），最后求得切線方程。尤其要注意的是，若題目給出了切線經過的點A，則要先討論點A是否在曲線上，若在曲線上，還要就點A是否是切點進行討論。

參考文獻：

［1］木玉.有關曲線的切線方程的幾點注意［N］.數學教學通訊（教師閱讀），2006，（11）.

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文。”