例談運用化歸思想巧解競賽題

化歸思想是一種解決數學問題的指導思想和基本策略，即通過問題本質的內在聯系，設法把未知問題轉化為已知問題，把復雜問題轉化為簡單問題，把非常規問題轉化為常規問題，從而使問題得以順利解決。在一些數學競賽題中，巧用化歸思想，疑難問題就會迎刃而解。

例1：有100個同學圍成一圈，編號為1、2、3、4……，讓他們按“1”、“2”報數，其中報“1”的離開，報“2”的留下，不斷循環報數，問最后留下的一位同學的編號為多少？

分析：初看問題，有學生會以為是“100”，但再一思考，“100”在第三輪中就被變“1”離開了，也即說明最后留下的這個數是在報數過程中總被報“2”的。我們熟悉這樣一個事實：如果有2 個數，則最后留下的就是第2 個數，于是問題就變為如何將100個數轉化為2 個數的報數問題了。

化歸方法：最靠近100的2 數是64，也即先去掉36個數，在第一輪報數中數到第36個“1”的是原數列中的“71”，去掉這36個“1”后，就轉變為64個數的報數問題了，此時第一個“1”是從原數列中數“73”開始報起，相對于“73”作為“1”而言，最后一個數是“72”，“72”也就是最后留下的數。

小結：抓住報數特點，化歸為具有這種特點的最簡單數列。轉化的關鍵是如何根據原數特點進行構造特征數列。如1998年天津市競賽題：有兩副撲克牌，每副牌的排列順序均按頭兩張是大王、小王，然后是黑桃、紅桃、方塊、梅花四種花色排列，每種花色的牌又按1、2、3……J、Q、K順序排列。某人把按上述排列的兩副撲克牌上下疊放在一起，然后把第一張丟掉，把第二張放在最底層，再把第三張丟掉，把第四張放在最底層，直至最后剩下一張牌，試問最后一張牌是哪一張？此題也可看作“報數”問題。

例2：（2006年江蘇省初二數學競賽第二題）河岸l同側的兩個居民小區A、B到河岸的距離分別為a米、b米（即圖（1）中所示AA′=a米，BB′=b米），A′B′=c米。現欲在河岸邊建一個長度為s米的綠化帶CD（寬度不計），使C到小區A的距離與D到小區B的距離之和最小。（1）在圖（2）中畫出綠化帶的位置，并寫出畫圖過程；（2）求AC+BD的最小值。

此題同2006年湖州市中考題相似：如圖（3），在平面直角坐標系中，點A、B點的坐標為A（2，-3）、B（4，-1），若C（a，0）、D（a+3，0）是X軸上的兩個點，則當a為何值時，四邊形ABCD的周長最小？

初看還真一時找不到頭緒，最有聯系的應該是大家熟知的“將軍飲馬問題”，也就是，如圖（4）在DE上找點F使AF+BF最小。通過作A關于DE的對稱點C，從而將問題轉化為“在DE上找一點F，使它到DE異側的B、C距離和最小”。顯然點F為BC與DE交點。但是此題卻要找兩個點C、D，且CD=s，使AC+BD最小。若將B點向左水平移動S距離至B′如圖（5），這樣問題就轉化為圖（4）的“將軍飲馬”問題了，按照圖（4）中的作法，首先找到點C，再向右移動s距離找到點D，連接AC、BD，這樣便滿足AC+BD最小，即為 （證明略），這樣，將“在L上找線段CD”的問題轉化為在L上找一個點的問題。顯然，在圖（3）的問題里，CD=3，所以將B向左移動3個單位（或者將A點向右移動3個單位，從而“找線段CD”問題轉化為找一個點的“將軍飲馬”問題。）

例3：（第13屆希望杯全國數學邀請賽）如圖（1），已知D、E是AC的三等分點，F、G是BC的三等分點，AF、AG分別交BE于H、L，求四邊形HFGL面積。

分析：由于四邊形HFGL中頂點H、L的位置未知，所以無法直接求它的面積，但是我們不難求下圖（2）中四邊形LGCE的面積：已知E是AC的三等分點，G是BC的三等分點，AG交BE于L。設S =x，S =y，因為BG=2CG，AE=2CE，所以S =2x，S =2y。由于S =S ，則3x+y= 且3y+x= ，所以x=y= ，四邊形LGCE的面積 。用同樣的方法也可求圖（4）中四邊形HFCE的面積為 。這樣四邊形HFGL面積可轉化為這兩個基本圖形的面積差 - = 。同樣，圖（5）中的陰影四邊形的面積也可轉化為兩個類似圖（1）中四邊形的面積差，即為JFGK面積減HFGL面積，JFGK面積也同圖（1）中HFGL面積求法，轉化為類似圖（2）中兩個四邊形面積的差。

從上面三道競賽題解法中可看出運用化歸思想解決問題的關鍵是首先找到“源”，這個“源”可能是數學規律、定理，也可能是一基本幾何圖形，或者是已經解決過的數學問題。通過對原數列、圖形的合理割補，或是利用平移、旋轉、翻折等圖形變換方式將復雜問題轉化為熟悉的簡單的圖形或數據問題，從而化繁為簡，化難為易。

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文。”