與直線有關(guān)的最值問題

近年來，高考在綜合考查學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)和基本方法的同時(shí)，重點(diǎn)考查學(xué)生正確使用數(shù)形結(jié)合、分類討論等數(shù)學(xué)思想方法解決數(shù)學(xué)問題的能力。因而在平時(shí)教學(xué)中教師應(yīng)加強(qiáng)學(xué)生知識(shí)間的縱橫向聯(lián)系和對(duì)數(shù)學(xué)基本思想方法的滲透及理性思維能力的培養(yǎng)。

直線方程從代數(shù)角度而言是函數(shù)中最簡(jiǎn)單的一種形式，也是學(xué)習(xí)解析幾何的基礎(chǔ)，而均值不等式是求函數(shù)最值的重要工具。下面以直線為背景研究四種最值問題的求解。

例1：過點(diǎn)P（2，1）作直線l與x軸、y軸正半軸交于A，B兩點(diǎn)，求使△AOB面積最小時(shí)的直線l的方程。

分析1：因?yàn)橹本€l已過定點(diǎn)P（2，1），只缺斜率k，可先設(shè)出直線l的點(diǎn)斜式方程，易知k＜0，再用k表示點(diǎn)A，B坐標(biāo)，結(jié)合函數(shù)及不等式知識(shí)求解。

解法1：由題知，直線l的斜率存在且為k，則設(shè)l的方程為y-1=k（x-2），（k≠0）。

令y=0，得x=2- ，即A（2- ，0）。

令x=0，得y=1-2k，即B（0，1-2k）。

又直線l與x軸、y軸的交點(diǎn)均在正半軸上，

因而2- ＞0，且1-2k＞0，得k＜0。

∴△AOB的面積S= |OA||OB|= （2- ）（1-2k）= （4- -4k）。

∵（- ）+（-4k）≥4（當(dāng)且僅當(dāng)- =-4k，且k＜0，即k=- 時(shí)取等號(hào)），

∴k=- 時(shí)S有最小值4，此時(shí)直線l的方程為x+2y-4=0。

分析2：題目中涉及直線l與y軸的交點(diǎn)B，則設(shè)B（0，b），由B，P兩點(diǎn)可得直線的斜率，可利用直線方程的斜截式求解。

解法2：設(shè)B（0，b），由題知l的斜率存在即b≠1，且b＞0，

由斜截式得l方程為y= x+b。

令y=0，得x= ，即A（ ，0）。

∵l與x軸正半軸交于A得 ＞0，

又b＞0且b≠1，

∴b＞1，

∴△AOB的面積S= |OA||OB|= · ·b= =（b-1）+ +2≥4（當(dāng)且僅當(dāng)b-1= ，且b＞1，即b=2時(shí)取等號(hào)）。

此時(shí)直線l的方程為x+2y-4=0。

分析3：若想用直線的兩點(diǎn)式求解，需另設(shè)一點(diǎn)可能會(huì)產(chǎn)生兩個(gè)未知量，而題中涉及l(fā)與x軸的交點(diǎn)A，不妨設(shè)A點(diǎn)坐標(biāo)利用兩點(diǎn)式求解。

解法3：設(shè)A（a，0），由題知l的斜率存在，即a≠2且a＞0。

那么由兩點(diǎn)式得l方程為 = ，即y= 。

令x=0，得y= ，即B（0， ）。

∵l與y軸正半軸交于B得 ＞0，

又a＞0，且a≠2，

∴a＞2。

S = |OA||OB|= ·a· = == ［（a-2）+ +4］≥4（當(dāng)且僅當(dāng)a-2= ，且a＞2，即a=4時(shí)取等號(hào)）。

此時(shí)直線l的方程為x+2y-4=0。

分析4：由于題中△AOB的兩直角邊長(zhǎng)就是直線l的縱、橫截距，因此聯(lián)想到可用截距式求解。

解法4：設(shè)A（a，0），B（0，b）且a＞0，b＞0，

則直線l的方程為 + =1。

∵直線l過點(diǎn)P（2，1），

∴ + =1。

由均值不等式：1= + ≥2 （當(dāng)且僅當(dāng) = = ，即a=4，b=2時(shí)取等號(hào)），

得ab≥8。

∴△AOB的面積S= ab≥4。

此時(shí)直線l的方程為 + =1，即x+2y-4=0。

點(diǎn)評(píng)：以上4種解法各有千秋、異曲同工，但都是運(yùn)用均值不等式求面積最值，在運(yùn)用過程中應(yīng)注意對(duì)所設(shè)變量范圍的確定及常用變形技巧。此道題綜合性強(qiáng)，方法靈活，為復(fù)習(xí)課中不可多得的一道題。

例2：過點(diǎn)P（2，1）作直線l與x軸、y軸正半軸交于A，B兩點(diǎn)，若|PA|·|PB|取得最小值時(shí)，求直線l的方程。

分析1：已知直線l過定點(diǎn)，可用點(diǎn)斜式求解。

解法1：由題知，直線l的斜率存在且為k（k＜0），則l方程可設(shè)為y-1=k（x-2）。

令y=0，得點(diǎn)A（2- ，0）。

令x=0，得點(diǎn)B（0，1-2k）。

∴|PA|·|PB|= · = ≥4。（當(dāng)且僅當(dāng)k = ，且k＜0，即k=-1時(shí)取等號(hào)）。

∴直線l方程為y-1=-（x-2），即x+y-3=0。

分析2：如下圖知∠BAO是直線l的傾斜角的補(bǔ)角，要求傾斜角，應(yīng)先求∠BAO。

解法2：設(shè)∠BAO=θ，則|PA|= ，|PB|= （0＜θ＜ ）。

∴|PA|·|PB|= = ≥4（當(dāng)θ= 時(shí)取等號(hào)），

∴直線l的傾斜角為π-θ= π，即斜率k=tan π=-1。

∴直線l方程為y-1=-（x-2），即x+y-3=0。

點(diǎn)評(píng)：本題從邊、角兩個(gè)角度求解，但方法2抓住斜率的定義通過求傾斜角而獲得，較方法1略勝一籌。

例3：過點(diǎn)P（1，4）作直線與兩坐標(biāo)軸正半軸相交，當(dāng)直線在兩坐標(biāo)軸上的截距之和最小時(shí)，求此直線的方程。

分析：直線l過定點(diǎn)P（1，4）可用點(diǎn)斜式求解。題中涉及縱、橫截距之和，故可利用截距式求解。

解法1：由題知，直線l的斜率存在且為k（k≠0），則l方程可設(shè)為y-4=k（x-1）。

令y=0，得x= +1＞0。

令x=0，得y=4-k＞0，則k＜0。

∵（4-k）+（ +1）=5+（-k）+（- ）≥9（當(dāng)且僅當(dāng)-k=- ，且k＜0，即k=-2時(shí)取等號(hào)）。

∴直線l方程為y-4=-2（x-1），即2x+y-6=0。

解法2：設(shè)直線l在x軸、y軸上的截距分別為a，b（a＞0，b＞0），則l方程可設(shè)為 + =1。

∵直線l過點(diǎn)P（1，4），

∴ + =1，

∴a+b=（a+b）（ + ）=5+ + ≥9（當(dāng)且僅當(dāng) = ，且 + =1，即a=3，b=6時(shí)取等號(hào)），

∴直線l方程為 + =1，即2x+y-6=0。

點(diǎn)評(píng)：解法1屬通常解法，解法2利用1的整體代換簡(jiǎn)單快捷，較方法1靈活。

例4：為了綠化城市，擬在矩形區(qū)域ABCD內(nèi)建一個(gè)矩形草坪。另外，△AEF內(nèi)部有一文物保護(hù)區(qū)不能占用。經(jīng)測(cè)量AB=100m，BC=80m，AE=30m，AF=20m。應(yīng)如何設(shè)計(jì)才能使草坪面積最大。

分析：如下圖，建立直角坐標(biāo)系，草坪面積的大小直接由點(diǎn)G決定。因而本題關(guān)鍵是確定點(diǎn)G的位置。

解法：以點(diǎn)A為原點(diǎn)，以AB所在的直線為x軸，以AD所在的直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系。設(shè)G（a，b）且a＞0，b＞0。

由題知EF所在的直線方程為 + =1，即2x+3y=60。

∵點(diǎn)G在EF上，故2a+3b=60。

∴矩形GMCN的面積

S=|GM|·|GN|=（100-a）（80-b）= （200-2a）（240-3b）≤ ［ ］ = 。

（當(dāng)且僅當(dāng)200-2a=240-3b，且2a+3b=60，即a=5，b= 時(shí)取等號(hào)）

此時(shí) =5 ，即G（5， ）分 所成的比為5。

答：當(dāng)草坪矩形的兩邊在BC，CD上，一個(gè)頂點(diǎn)在線段EF上，且分 所成的比為5時(shí)，草坪面積最大。

點(diǎn)評(píng)：本題關(guān)鍵是利用坐標(biāo)法確定點(diǎn)G位置及量化草坪面積進(jìn)而求最值，在最值求解過程中注意湊定和的變形技巧。

本文以直線為背景，研究了面積，兩邊之積，橫、縱截距之和，點(diǎn)G位置確定草坪面積的四種最值問題。由于直線方程有四種特殊形式，因而一題多解，方法靈活，進(jìn)而運(yùn)用均值不等式求最值的變形技巧不同，解題繁簡(jiǎn)程度也不同。

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