向量在幾何中的應(yīng)用

向量是高中數(shù)學新增添的必修內(nèi)容之一，其幾何形式與代數(shù)形式的雙重特性，順利地溝通了數(shù)與形的靈活轉(zhuǎn)換，因此向量是解幾何問題的工具。

1.平面向量在平面幾何中的應(yīng)用

例如：在平行四邊形ABCD中，EF在對角線BD上，并且BE=FD，求證四邊形AECF是平行四邊形。

在初中學習平面幾何時，大家可能證明過這道題，那時的證明要用到平行四邊形的性質(zhì)和三角形全等的判定定理。這里用向量證明，僅僅用到向量加法運算及交換律，比平面幾何的“從一個圖形的一個性質(zhì)推出另一個性質(zhì)”簡單多了，在這個例題中，我們還要進一步總結(jié)用向量解決平面幾何問題的步驟：

（1）建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題轉(zhuǎn)換為向量問題；

（2）通過向量運算研究幾何元素之間的關(guān)系；

（3）把運算結(jié)果轉(zhuǎn)化為幾何關(guān)系。

本題中要想證l四邊形AECF為平行四邊形，只需證明向量AE與向量FC相等即可，而題中給定我們四邊形ABCD為平行四邊形，對角線BD上，有BE=FD，我們可轉(zhuǎn)化為向量BE與向量FD相等，想到用基底表示向量AE和向量FC。當通過向量加法運算可交換律得到向量AE=向量FC后，我們可以推出AE、FC邊平行且相等。因此，四邊形AECF是平行四邊行。

2.空間向量在立體幾何中的應(yīng)用

高中立體幾何歷來是學生學習道路上的“攔路虎”，因為它需要學生具有較強的空間想象力、邏輯思維能力和準確的數(shù)學語言表達能力。新課標中，空間向量的引入降低了高強度的邏輯思維量，避開了構(gòu)造空間輔助線的難度，將空間元素的位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系，將艱澀繁雜的邏輯證明轉(zhuǎn)化為數(shù)值運算，使立體幾何代數(shù)化，更好地培養(yǎng)了學生數(shù)形結(jié)合的能力。而向量法中的空間直角坐標系法，在解決立體幾何問題中獨辟蹊徑，尤為重要。

例如：如圖1，在正方體ABCD—A B C D 中，E、F分別是棱A D 、A B 的中點，求BC 和面EFBD所成的角。

解：如圖1，建立空間直角坐標系D-xyz，設(shè)正方體棱長為2，則坐標為：

B（2，2，0），D（0，0，0），E（1，0，2），F(xiàn)（2，1，2），C （0，2，2），

∴ =（2，2，0）， =（1，0，2）， =（-2，0，2）.

設(shè) =（x，y，z）是平面EFBD的法向量，則 · =0， · =0，得y=-x，z=- x，

令x=-2，得 =（-2，2，1），設(shè)θ為BC 和面EFBD所成的角，則sinθ=cos〈 ， 〉= = ，∴θ=arcsin 為所求。

傳統(tǒng)的求空間角的方法主要是找到或作出所求的夾角，然后在所作的三角形中進行計算。一般來說問題的作圖會有一定難度，而且計算學生也不易掌握，而利用向量的內(nèi)積運算公式cos〈 ， 〉= ，把夾角的計算轉(zhuǎn)化為求兩個向量的長度和內(nèi)積，只需通過簡單的運算問題就得以順利解決問題。

通過空間直角坐標系，把幾何問題轉(zhuǎn)化為簡單的代數(shù)計算，由于學生對于代數(shù)運算相對較熟悉，因此用向量的方法進行計算或證明就變得更簡便。例如：利用平面的法向量，通過法向量的垂直說明兩平面的垂直，避免了傳統(tǒng)方法造成邏輯推理上的不便和由于輔助線的添加造成圖形的復(fù)雜化等問題。

總的來說，新教材中所增加的向量內(nèi)容，給我們帶來新的思想方法和解題工具，對于開闊學生的思路、激發(fā)興趣、培養(yǎng)創(chuàng)新意識具有重要的作用。

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文