向量在幾何中的應用

向量是高中數學新增添的必修內容之一，其幾何形式與代數形式的雙重特性，順利地溝通了數與形的靈活轉換，因此向量是解幾何問題的工具。

1.平面向量在平面幾何中的應用

例如：在平行四邊形ABCD中，EF在對角線BD上，并且BE=FD，求證四邊形AECF是平行四邊形。

在初中學習平面幾何時，大家可能證明過這道題，那時的證明要用到平行四邊形的性質和三角形全等的判定定理。這里用向量證明，僅僅用到向量加法運算及交換律，比平面幾何的“從一個圖形的一個性質推出另一個性質”簡單多了，在這個例題中，我們還要進一步總結用向量解決平面幾何問題的步驟：

（1）建立平面幾何與向量的聯系，用向量表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題轉換為向量問題；

（2）通過向量運算研究幾何元素之間的關系；

（3）把運算結果轉化為幾何關系。

本題中要想證l四邊形AECF為平行四邊形，只需證明向量AE與向量FC相等即可，而題中給定我們四邊形ABCD為平行四邊形，對角線BD上，有BE=FD，我們可轉化為向量BE與向量FD相等，想到用基底表示向量AE和向量FC。當通過向量加法運算可交換律得到向量AE=向量FC后，我們可以推出AE、FC邊平行且相等。因此，四邊形AECF是平行四邊行。

2.空間向量在立體幾何中的應用

高中立體幾何歷來是學生學習道路上的“攔路虎”，因為它需要學生具有較強的空間想象力、邏輯思維能力和準確的數學語言表達能力。新課標中，空間向量的引入降低了高強度的邏輯思維量，避開了構造空間輔助線的難度，將空間元素的位置關系轉化為數量關系，將艱澀繁雜的邏輯證明轉化為數值運算，使立體幾何代數化，更好地培養了學生數形結合的能力。而向量法中的空間直角坐標系法，在解決立體幾何問題中獨辟蹊徑，尤為重要。

例如：如圖1，在正方體ABCD—A B C D 中，E、F分別是棱A D 、A B 的中點，求BC 和面EFBD所成的角。

解：如圖1，建立空間直角坐標系D-xyz，設正方體棱長為2，則坐標為：

B（2，2，0），D（0，0，0），E（1，0，2），F（2，1，2），C （0，2，2），

∴ =（2，2，0）， =（1，0，2）， =（-2，0，2）.

設 =（x，y，z）是平面EFBD的法向量，則 · =0， · =0，得y=-x，z=- x，

令x=-2，得 =（-2，2，1），設θ為BC 和面EFBD所成的角，則sinθ=cos〈 ， 〉= = ，∴θ=arcsin 為所求。

傳統的求空間角的方法主要是找到或作出所求的夾角，然后在所作的三角形中進行計算。一般來說問題的作圖會有一定難度，而且計算學生也不易掌握，而利用向量的內積運算公式cos〈 ， 〉= ，把夾角的計算轉化為求兩個向量的長度和內積，只需通過簡單的運算問題就得以順利解決問題。

通過空間直角坐標系，把幾何問題轉化為簡單的代數計算，由于學生對于代數運算相對較熟悉，因此用向量的方法進行計算或證明就變得更簡便。例如：利用平面的法向量，通過法向量的垂直說明兩平面的垂直，避免了傳統方法造成邏輯推理上的不便和由于輔助線的添加造成圖形的復雜化等問題。

總的來說，新教材中所增加的向量內容，給我們帶來新的思想方法和解題工具，對于開闊學生的思路、激發興趣、培養創新意識具有重要的作用。

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