特殊化策略在解數學高考題中的應用

數學教育家希爾伯特曾經說過：“在討論數學問題時，我相信特殊化比一般化起著更為重要的作用。”在用直接法解數學問題感到困難時，如果能調整思路，采用特殊化策略去考慮解題的方法，往往能“柳暗花明又一村”，使問題迎刃而解。本文以2008年全國高考數學試卷（浙江理）中舉足輕重的三道試題為例，說明特殊化策略在解題中的應用。

例1.如圖，AB是平面α的斜線段，A為斜足，若點P在平面α內運動，使得△ABP的面積為定值，則動點P的軌跡是（ ）。

A.圓 B.橢圓 C.一條直線 D.兩條平行直線

分析：如果想通過計算去求出軌跡方程來解決問題，顯然非常困難，于是就要考慮如何用簡接方法去解決。因點P處于運動狀態，所以就該考慮把點P的位置特殊化去探索。

選取兩個特殊位置，①當△BAP所在的平面垂直于平面α時，在α平面內，點P關于點A的對稱點P 也滿足條件；②在平面α內，過點A作P P 垂直于PA，使三角形BAP2與三角形BAP 、BAP的面積相等，由BA＞BH，所以P A=P A＜BP，則點P 、P 也是軌跡上的點；BH、BA分別是三角形底邊上的高的最小、最大的位置，因面積為定值，所以AP、AP 分別是軌跡上的點到中心A點距離最大、最小的點，因此，可以排除選擇支A、C、D，P點的軌跡是橢圓，選B。

例2.若a≥0，b≥0，且當x≥0y≥0x+y≤1時，恒有ax+by≤1，則以a，b為坐標的點P（a，b）所形成的平面區域的面積等于 。

分析：本題的難點是如何畫出點P（a，b）所形成的平面區域的圖形。而這一圖形要想用直接法去作出很困難，所以應該用簡接法去確定。

不妨先畫出不等式組所表示區域的圖形：是直角三角形AOB及內部的影部分，即點（x，y）的集合。然后取P（a，b）的四個特殊點：（0，0）、（0，1）、（1，0）、（1，1），代入得四個不等式：0·x+0·y≤1，0·x+1·y≤1，1·x+0·y≤1，1·x+1·y≤1顯然都成立，由此可知上述四個點都屬于所求圖形的點。由特殊到一般，再考慮以此四點為頂點的正方形內的所有點是否都滿足條件？

0≤a≤10≤b≤1?圯ax≤xby≤y?圯ax+by≤x+y≤1，由此說明正方形內的所有點都滿足條件。

正方形外是否還有點也滿足條件呢？不妨令a=0，b＞1，則取y=1時，就有ax+by＞1，所以正方形外不存在滿足條件的點。

綜上，滿足條件的點P（a，b）所形成的區域的圖形只能是以（0，0）、（0，1）、（1，0）、（1，1）為頂點的正方形，面積為1。

例3.已知曲線C是到點P- ， 和到直線y=- 距離相等的點的軌跡。l是過點Q（-1，0）的直線，M是C上（不在l上）的動點；A，B在l上，MA⊥l，MB⊥x軸（如圖）。

（Ⅰ）求曲線C的方程；

（Ⅱ）求出直線l的方程，使得 為常數。

第（Ⅰ）小題比較容易，根據拋物線的定義，考生一般都能求出曲線C的方程為：x+=2y+ ，難點在第（Ⅱ）小題。

對第（Ⅱ）小題，考生一看就望而生畏。第一，計算量大，因為一般總是設直線的斜率為k，不論求點A、B的坐標，或者求 |QB| 、|QA|的表達式，計算都較復雜。第二，辛辛苦苦地計算，可能會勞而無功。因為在計算出來的結果中，既含有點M的動點坐標，又含有k，式子 為常數，結果中如何確定k和常數，總覺得把握不大，不敢貿然動手，還是采用由特殊到一般的策略去探索把握大。先在曲線C上取兩個特殊的點的坐標，分別求出 的值，兩式都只含有k，利用兩式相等，求出k的值，即求出直線的方程，再證明曲線C上的任一點都具有性質： 為常數，即“先用特殊方法找目標，再用一般方法去證明”。這樣，在解題時心中就很踏實了。具體解法如下：

解：在曲線C上取一點M （1，1），通過解方程組可得A， ，B （1，2k），∴ = ；

在曲線C上再取一點M （0，0），通過解方程組可得A ， ，B （0，k），∴得 =（1+k ） 。

∵比值為常數，∴ =（1+k ） ，解之得：k=2，∴所求的直線方程為：y=2x+2。

接下去證明直線y=2x+2對于曲線C上的所有點都滿足條件。

∵曲線C：x+=2y+ ?圯y= ，∴設曲線C上任一Mt， ，

解方程組y=2x+2x=t?圯x=ty=2t+2，得B（t，2t+2）；

解方程組y- =- （x-t）y=2x+2?圯x= y= ；

求得：|QB| =5（t+1） ，|QA|= ；

∴ =5 為常數，即y=2x+2為所求的直線方程。

其實，在每年的高考試題中，我們都會碰到類似題目。所以在日常的教學和復習中，教師應注意解題策略的訓練，使學生形成一種條件反射，碰到難題就自然想到是否可用特殊的解題策略去解，或者用特殊化策略去探索解題思路，從而提高學生的解題能力。

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