課堂教學中的問題創設與思維能力培養

摘 要： 數學教學的目的是培養學生解決數學問題的能力。課堂教學是教師對學生運用數學知識和進行思維活動的指導過程。教師要通過問題的創設來調動學生思維的積極性和主動性，通過問題的解決來啟迪和發展學生的思維。

關鍵詞： 創設問題 調動主動性 培養思維能力

“問題是數學的心臟”，而數學教學的核心是培養學生解決數學問題的能力。“問題解決”是數學教學中最主要的一種活動，也是數學教學的中心環節，是教師對學生運用數學知識和進行思維活動的指導過程。同時，“問題解決”又是數學教學的一個目的。為此，作為教學活動的主導——教師，必須根據教學目標要求，把教學內容轉化為一個個、一組組的問題，通過問題創設來調動學生思維的積極性與主動性，發揮學生的主體地位，通過問題的解決來啟發和發展學生的思維。既要完成知識的傳授，同時又要培養學生的思維能力，這一教學過程的關鍵是教師的教學設計——問題的創設。本人就“問題的創設”如何有利于學生思維能力的培養，談點具體的做法與體會。

一、問題的創設能展示思維的過程

在教學活動中有學生會問：“老師，你是怎樣想到的？”學生之所以提出這樣的問題，往往是由于不了解探求問題解決的思維過程。因此教師在“問題的創設”時，要結合學生的認識基礎、思維能力，展示思維過程，使他們明白問題解決，需要經過一個分析、類比、探求、創新等復雜的思維過程。例如在《平面解析幾何》“橢圓的簡單幾何性質”一節內容，課本僅用一個例題的形式，直接求出了橢圓的參數方程。

例：以原點為圓心，分別以a、b（a＞b）為半徑作兩個圓，點B是大圓半徑與小圓的交點，過點A作AN⊥OX，垂足為N，過點B作BM⊥AN，垂足為M，求當半徑OA繞點O旋轉時，點M的軌跡的參數方程。

解：設點M的坐標是（x，y），是以OX為始邊，OA為終邊的正角，取為參數，那么0＜φ≤2π，X=ON=|OA|cosφY=NM=|OB|sinφ，即X=acosφY=bsinφ.

這里看不出探求橢圓參數方程的思維過程，尤其是沒有指出為什么取角φ（離心角）作為參數的道理。如果教師照本宣科，課堂上讓學生完全處于被動接受的地位，那么課后只能一知半解，根本談不上思維能力的訓練。但如果教師能根據“學生解決了圓的參數方程”這一認識基礎，創設以下一系列問題，來展示選擇參數的思維過程，就不僅僅能使學生了解離心角是怎樣一個角及為何選擇它來作為參數，而且對培養學生分析、類比、探求、創新等思維能力都將起到十分積極的作用。

問題1：設點M是中心在原點，長軸在X軸上，長、短半軸長分別分a、b的橢圓上的任意一點。令∠XOM=φ，以φ為參數，能求出橢圓的參數方程嗎？

學生在圓的參數方程的基礎上，不難發現，|OM|不為定值，而已知數a、b無法用上，因而點M的坐標x、y不能用a、b及參數φ表示，接著可提出第二個問題。

問題2：a、b如何用上？怎樣選擇參數？

教師可適當啟發學生：從圓的參數方程啟示中，分別以a，b為半徑作出兩個輔助圓，這樣每一個圓上的點的坐標都可以a或b及角φ表示。

問題3：怎樣將點M的坐標，轉移到這兩個圓上的點的坐標去求呢？

學生不難發現：只要過M作X軸的垂線交大輔助圓于點A，則A與M的橫坐標相等。若連結OA，設∠XOA=φ，則XA=XM=acosφ。

問題4：點M的縱坐標如何也用角φ表示呢？

學生依所學的知識易回答：把X=acosφ代入方程（x /a ）+（y /b ）=1中得y=±bsinφ，只要說明這里“±”號中只取“+”即可的道理。

問題5：bsinφ與圖2中哪一點的坐標有關？

學生易發現：bsinφ是OA與小輔助圓交點B的縱坐標。

通過上述創設問題的解決，使課本上原例題分析不足的問題得以解決，而且也使學生從中體會到了分析、思考、探求與解決問題的思維方法和探求問題解決過程的樂趣。

二、“問題的創設”能調動學生思維的積極性與主動性

“興趣是最好的老師”。教師要充分調動學生學習積極性與主動性，可結合教學內容，適當創設一些學生十分感興趣的“實際問題”，使學生把注意力集中在教師提出的問題上，并積極、主動地思考，使問題的解決成為他們的迫切愿望。這樣就充分調動起學生思維的積極與主動性，提高思維的效率。如在講解“最大視角”問題時，教師可提出下列問題：

問題1：看電影時離電影銀幕多遠處看電影最佳？（或你坐在第幾排看黑板最“省力”？）

問題2：這個問題屬于什么數學問題？（可引導學生建模，提出問題3。）

問題3：如圖，射線OA⊥射線OB，在射線OA上有兩點P 與P 。

設OP =a，OP =b（a＞b＞0）在射線OB上找一點P，使∠P PP 最大？引導學生設制變量，建立目標函數。設OP=X，則

tan∠P PP = 。

問題4：如何來求∠P PP 的最大值？

回顧：從實際問題到數學問題的探求過程，學生的思維始終處在一種興奮狀態，而且學生為自己應用數學知識來解決實際問題而感到十分自豪，這就增強了他們學習數學的興趣與信心。

三、問題的創設要有利于發揮學生思維的創造性

學生思維的創造性是指學生在掌握的基礎知識與基本技能的基礎上，運用歸納、類比、探索等手段，不依常規，要求變異、多途徑、多方面地去思考問題，提出自己獨特見解。教師應充分發揮學生思維的創造性，給學生思維提供廣闊的空間，因勢利導，挖掘他們的思維潛能，把數學問題引何縱深。這對培養學生創造性思維能力將有著不可估量的意義。教師在進行問題的創設時，能抓住一些數學問題，及時提出推廣變換、逆向探求的要求，讓學生去探求。

如對于《平面解析幾何》練習題：過拋物線Y =2PX的焦點的一條直線和這拋物線相交，兩個交點的縱坐標為Y 、Y ，求證：Y Y =-P 。教師可創設如下問題：

問題1：拋物線Y =2PX上有兩個動點A、B，它們的縱坐標分別是Y 、Y ，若滿足Y Y =-P ，問直線是否過拋物線的焦點？

（原題的逆向探求問題，通過驗證可得：直線AB過焦點）

接著針對原題中，焦點F是拋物線對稱軸上的一個特殊點，變更條件，進一步提出一個推廣問題。

問題2：設M（a，o）是拋物線對稱軸上的任一定點，過M點的直線交拋物線于A、B兩點，設A、B兩點的縱坐標分別為Y 、Y ，問Y 、Y 是否為定值？若是，求出此定值。

（仿照原題，而求得：Y Y =-2aP，并可指出原題是此題的特殊情況），仿照問題1，可提出問題2的逆向探求問題。

問題3：設拋物線Y =2PX上兩動點A（X ，Y ），B（X ，Y ），滿足Y Y =m為常數且m≠0，問：在拋物線對稱軸上是否存在一定點M，使直線AB恒過該定點M？

顯然問題3有一定的難度，與問題1相比定點位置不知，因而求解方法不同。學生經過努力還是能基本解決問題，盡管學生的解決可能不夠完美，但通過反思、討論，一定會給出一個完整的解決方案，過定點M（-m/2P，0）。

通過上述這組問題的解決，我們不僅能使學生進一步熟練解決直線與圓錐位置關系問題的方法，而且能引導學生去思考、探求更多更深的問題，更重要的是能充分挖掘課本習題的功能，引導和發揮學生思維創造性，完成探索問題、解決問題的教學過程，從而提高思維能力。

參考文獻：

［1］全日制普通高級中學教科書數學第二冊（上）.2004.4.

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