數學美淺探

湯平洋

摘要：“樂學”教育與美育緊密相連，課程美育呼喚數學美的出現。本文對此進行了探討，認為數學美是科學美的一部分，它有“創造”“真”“善”的內容，有美的形式，有審美主體“張力形式”和“同形同構”的審美特點。這一觀點打開了數學課程美的奧秘之門。

關鍵詞：科學美；數學美；內容；形式；審美

在國家基礎教育課程改革中，人們關注以“樂學”為主旨的人性化教育，越來越注重把美育滲透在各科教學中。這既能激發學生對課程的興趣，提高教學效果，也使學生受到課程美的滋養，有益于形成美的人格。因此對課程美的探索、對課程美育的探索就成為了人性化教育中的一大熱點。數學是一門極具抽象性的課程，它離傳統意義上的“美”距離較遠，因此數學美育的理論和實踐的研究顯得十分重要。

一、數學美的概念

數學美是“科學美”在數學領域中的表現。傳統的美學觀念認為：“美是自由創造的形象體現”“美是一種情感上的有感染力的形象”（楊辛、甘露，《美學原理新篇》）。以此“美的定義”來觀照數學課程，我們會發現：數學是一門高度抽象的科學，它不具有形象性，也不具備情感性，而表現出嚴正的以理服人的客觀性，因而遠離“美”的范疇。但是現代美學研究糾正了這種看法。2003年結題的國家基金項目成果《科學與藝術的審美創造》介紹——《自然科學的審美創造研究簡介》（以下簡稱《簡介》）提出了“科學美”“數學美”的概念。

《簡介》指出“傳統的關于美的定義大多是藝術美的定義，甚或是在不認可存在科學美的觀念下作出的美的定義。該成果在充分論述了科學有美和可以進行科學審美創造的基礎上，給出了一個關于科學和藝術美的統一定義：美是實在動心的有意義的張力形式。其中，‘實在動心指出了美產生的基礎是實在客體和感美主體契合的統一。‘意義包括‘意味和‘真義兩個方面，在藝術里是指其‘意味，在科學里指其‘真義，即客觀規律、藝術的內容即是形式意味，科學的內容是形式真義。‘動心也包括兩個方面的意思：就藝術而言是指主體的‘動情，就科學而言是主體的‘動智。于是藝術美即是令人動情的有意味的形式，科學美即是令人動智的有真義的形式。”這里提出了“科學美”的概念，并指出“科學美”具有“真義”“動智”的特點。《簡介》在“科學研究者在審美創造活動中以美啟真表現”里指出“科學研究在追求對稱和諧、邏輯簡單性和數學美的同時，將促使科學理論不斷向深刻化方向前進”。這里極其明白地指明了“數學美”的存在。

二、數學美的內涵

1.數學美的內容

傳統的美學觀念在美的定義里以其形象性、情感性排斥數學美。但又以其“自由創造”論標示了數學美的內容。《美學原理新編》中說，“美是自由創造的形象體現，而自由創造又是合目的性、合規律性的統一。”合乎規律性是真，合乎目的性（即合乎功利性，人的目的性都體現一定功利要求）即是善。在這一美的定義解說里，有三種因素可以看作數學美的內容：

（1）創造。數學科學規律存在于廣袤的宇宙之中，數學規律的抽象、總結都是人們去探索發現的。數學規律的發現意味著發現者的“創造”，陳景潤對“哥德巴赫猜想”的證明離成功還有一步之遙，就轟動了世界，牛頓和尼布萊茲創立了微積分，同時也開創了現代物理學。人們從其數學成果里同樣能感受到“人的本質力量對象化”的激動與愉悅，整個人類從形成的數學中觀照著自身的智慧，由此而產生的一切愉悅和激動是超乎單個的藝術美產生的愉悅之上的。人類創造了數學，數學創造了一切，也包括藝術。因而，形成數學美的創造是最具智慧的創造，也是最具美感的創造。

（2）真。合乎規律是真。數學揭示的宇宙間物象的普遍規律極其真實地反映著客觀世界。例如，易經八卦揭示了宇宙的對立統一性，它就可以用二進制數表示出來。電腦的產生與研制就是基于數學的二進制。又如質能公式E＝mc2揭示了時間的相對性——物體在超光速運行下會出現時間倒流的現象。一切物理的化學的還是生物的理論及規律被數學表現得淋漓盡致。合乎邏輯是真，合規律就其本質而言就是合邏輯。數的運算法則就是一個邏輯系統，真實地反映了事物的因果關系，表現出極強的動智審美特點。

（3）善。合乎人類目的性是善，數學是人類認識世界的工具，也是人類反映世界的手段。它的產生承載著人類從原始走向文明，從蒙昧走向科學。它既可以表現為計算機運算——無人自動化生產、數字影視娛樂，也可以表現為宇宙飛船定位航行——在天體星際間定點來往。給人類帶來無窮的福惠，無限的樂趣，無盡的理想。在實現人類的目的上具有無與倫比的善益性。數學以其最具“創造性”“真義性”和“善益性”與傳統美的觀念相對接，而表現出“理性的美”。

2.數學美的形式

《美學原理新編》中指出“形式美具有獨立的意義，而形式美對美的具體內容帶有相對的獨立性”“形式美概括了美的形式的某些共同特征，具有一定的抽象性”。數學對客觀世界中美的形式的抽象是多種多樣的。就幾何而言：“圓形柔和飽滿；方形剛勁大方；立三角有安全感，倒三角具傾危狀”“相交線表現為激蕩；平行線表現為安穩”。就數而言，它抽象著時間與空間：如用正、負數表示未來與過去，用三維數、四維數、多維數來表示三維空間、四維空間、多維空間；它抽象著有限與無限：如有限小數與循環小數。數學抽象著整個物質世界。

數學美的形式和美式（一般指藝術美）中的形式美的法則也是一致的。如：

單純齊一：單純是見不到明顯的差異和對立因素，齊一是一種整齊的美。如各種口訣表的形式，楊輝三角遞增的一致性，圓形是單純的代表、正方形是整齊的標志。

對稱均衡：對稱均衡是指以中軸為標志兩側的形式相同或相似。如對角線分開的平行四邊形、直徑線中分的圓、數軸兩邊的正負數等。

調和對比：調和是差異中趨向于同。如數的進制中的十進制，每一位上的數字是不同的，但每一位上是10個數字是相同的，顯示一種調和的美；對比是差異中傾向于異。如正數與負數、加與減、乘與除、乘方與開方等表示著物量間的矛盾對比關系。

比例：如相似、位似，同形同構，及各種變換都反映了整體與局部、局部與局部之間的“勻稱”關系。就一個知識點來說，“黃金分割”是視覺上最和諧的比例。

節奏韻律：如三角函數公式及周期規律，數列與級數、函數項級數等。

多樣統一：數學理論、規律與內容更是反映了多樣統一的法則。如數形結合的法則，代數式、方程與函數的關系等。數學內容豐富而不雜亂，統一而不單調。數學理論真正達到了整體的和諧性。

綜上所述，不難想見，數學普遍遵循形式美的對稱性法則、簡單性法則、和諧統一性等法則。

三、數學的審美

1.數學審美的心理機制

“就科學審美活動而言，當有意義的張力形式與主體的審美心理的張力形式同形同構，審美主體就有了動智的美感。就有可能把握到實在美的本質并產生出科學美的概念和符號體系，即作出科學審美的創造。”（《簡介》）數學審美與科學審美的機制一樣，人們在審視數學理論時往往能夠產生發自內心的動智愉悅，激起各種智力猜想，以致對它產生不可自制的迷戀，涌起傾心向往的審美情感。正是這種審美情感驅使人們投入到數學探索研究之中，從而促使新的理論的誕生。

2.數學審美創造

數學課程美的揭示與審美主體（學生）頭腦中形成美的張力形式“同形同構”時，便可產生數學審美創造。數學審美創造的形成有如下的過程特點：①出現數學美。在數學教學中揭示數學美，給學生提供審美對象。一方面是顯示數學美的內容：如對數學家發現數學規律的介紹，顯現數學美的自由創造；指出各種數學規律、數學邏輯對現實世界的揭示，顯現數學的真美；在教學數學知識時，同時介紹這種知識給人類帶來的福惠，顯示數學的善美。另一方面是展現數學的形式美，理解數學對現實的抽象形成美的形式；明確數學形式美的法則，特別是上述六種基本法則。②養成數學審美觀。即構建學生頭腦中的數學美的張力形式。這步工作是和揭示數學美同步進行的。③審美對象與審美觀溝通結合，實現審美創造。教師的數學美育就在于對學生與數學美之間進行啟發性溝通。