中職學生函數概念學習的個案研究

黃惠如

【摘 要】函數概念是中職數學的重要內容,但同時又是學生最難理解的內容之一。本文通過對中職學生函數概念學習的個案研究,提出了在函數概念教學中,加強“變量”意識培養、全面展現函數表示、漸進滲透明晰概念、注重“數形結合”思想等四點建議。

【關鍵詞】函數概念 個案研究 學生

一、個案研究的目的

函數概念是中職數學的重要內容,同時函數也成為中學數學中的紐帶。因此,學生學好函數知識,可促使學生更好地掌握中學數學中的基礎知識,有利于學生以函數所反映的運動變化、相互聯系的觀點來貫穿所學的基礎知識,形成良好的知識體系。而函數概念發展的曲折性和函數定義的多樣性必然導致學生對函數概念的理解是多種多樣的,會造成理解上的困難。因此,有必要研究中職生對函數概念理解的具體狀況。本人選擇了一些學習態度較好、智力狀況一般、數學學習狀況一般的學生的學習片斷作個案研究,以此來了解中職生對函數概念學習的把握情況。

二、個案研究的過程

同學A,女,中職一年級會計專業學生,對人友善,學習認真踏實,智力活動表現一般,按中考數學成績在全班51名學生中排名31,遇到不懂的問題愛請教老師和同學。

在學習了函數的表示法后,同學A和我進行了一次討論:

A:我覺得課本上的例子氣溫隨時間變化的情況不是函數關系。

T:為什么?

A:因為它的圖像不是直線或光滑的曲線。

T:你認為函數是什么?

A:起碼是一個等式,并且含有兩個未知數,如初中學過的一次函數、二次函數、反比例函數都可以用等式表示,而且它們的圖像都是直線或光滑的曲線。

看來,學生A用函數的某些表象替代了函數概念的本質特征,以偏蓋全。我不得不安排在自習課給她補習函數的概念、三要素,特別是對對應法則的認識這些知識點,讓她加深對函數概念的本質理解。

過了一兩個星期,我布置了一道作業“求函數y=x2-2x-3在[0,3]內的最小值”。同學A是這樣解答的:因為f(0)=-3,f(3)=0,所以函數在在[0,3]內的最小值是-3。她的解釋是初中時老師就是這樣教的,至于為什么要這樣解她不知道也沒有追究。我翻看了她的初中教科書,的確有這樣的求函數最值的題目,但是在函數的某個單調區間內求解,兩道題目的這種區別同學A并沒有注意。和同學A同一解法的同學占了多數,他們都把求函數的最值問題看作是求代數式的值,亦即許多學生對函數的理解只停留在簡單運算上,他們并沒有真正的理解函數的動態變化過程,沒有把函數看作變量研究。我不得不在課堂上再次講解函數的單調性問題。

這次后同學A的課堂練習及課后作業都沒有什么特別的地方。在第三章《函數》的測驗中還考了全班第10名。然而第四章《指數函數和對數函數》的測驗卻掉到43名。這給她的打擊很大,我也吃了一驚。我想了解原因。

T:這次測驗你的成績不怎么理想,你能談談這段時間的學習情況嗎?

A:平時我還是能聽明白你講課的內容,作業也能應付,但在測驗中我發現自己很多基礎的東西都忘記了,很多性質也攪在一起,我只憑模模糊糊的印象硬著頭皮作答。

T:是這樣嗎?那么你說說你是如何區別y=a瑇和y=log璦x這兩個函數的?

A:不知道,我經常把它們弄混。

T:你是如何記憶這兩個函數的性質的?

A:主要按課本上學習它們的先后順序記憶。

T:你能否畫圖說明?

(A努力地回憶這兩個函數的圖象,但把兩種圖象混在一起了。)

學生A對待數學科目表現出屢敗屢戰的執著,然而,她的認真努力并沒能使她很好的掌握函數知識。

三、關于函數概念教學的反思

1.加強“變量”意識培養

人類的認識規律是先從具體事物開始,再上升到抽象變化的高度。學生的學習過程也是這樣。從小學的“數”到初中的“符合語言”是一個飛躍,從初中的“定量”到高中的“變量”是一個更大的飛躍。從學生A的個案可以看到,在學生的頭腦中函數只等同于方程或等式,求函數的最值就是求代數式的值,他們還未形成變量的觀點去理解函數概念的相關問題。所以在函數的教學中,首先要有意識地、逐步地培養學生的“變量意識”。講清變量“x”、“y”究竟代表什么,范圍怎樣,可以怎樣變化,可以怎樣替換,兩變量之間的關系如何,使學生明白如果定義域和值域相同,“ f(x)”和“f(t)”是兩個完全相同的函數。只有當學生認識“變量”、掌握“變量”,進而喜歡上“變量”,形成一種“變量意識”,才會更好的掌握函數概念,才會完成初等數學中這個思維層次的飛躍。

2.全面展現函數表示

學生A對函數概念認識的以偏蓋全,既有她自身理解的主觀原因,也有初中課本選取編排的客觀因素。初中教科書介紹了具體的函數,如一次函數、二次函數的圖像、性質及解析式表示,致使學生認為函數都可以用解析式表示,函數的圖像都是連續光滑的直線或曲線。學生對函數多種表示方法的理解掌握程度直接地反映了學生對函數概念的理解程度。學生理解了函數的表示方法的多樣性也就加深了對函數概念本質的理解。在函數概念教學中,可以通過列舉心電圖、幼兒生長表等例子,利用圖像、表格、符號、箭頭等多種形式來表示函數,使學生在不同的表示法中認識同一個概念,反思多種表示法背后函數概念的共同點,從而體會形式與本質之間的緊密聯系,進一步理解函數概念的本質。

3.漸進滲透明晰概念

函數概念的抽象性和函數表示的多樣性決定了學生函數概念的形成不能一蹴而就,它是一個反復體會、螺旋上升的過程,是一個由淺入深、循序漸進的過程。中職學生在初中函數變量說學習的基礎上,通過函數對應說學習進一步理解函數的本質屬性,掌握函數的形式化描述,明確其三要素及表示符號;然后聯系生活實際問題,闡述函數不同的表示方法和基本性質,構建函數的一般概念;再通過對指數函數、對數函數等新的具體函數的研究,加深學生對函數概念的理解。需要注意的是,在漸進的教學過程中,教師始終要有一個“概念教學”的意識。

4.注重“數形結合”思想

學生A把函數的圖像與性質孤立對待,不會利用圖像記憶性質,也就更不會利用圖像幫助解決數學問題了。在初中以前的數學知識,“數”與“形”是分開的,但到中職階段學習了函數后,由于函數概念需要同時考慮幾種表示,并要協調各種表示之間的關系,故而常常需要在各種表示之間進行轉換。因此,在函數教學中,應注重“數形結合”思想的培養。“數形結合”的實質就是將抽象的數學語言與直觀的圖形結合起來,實現抽象概念與具體形象的聯系和轉化,化難為易,化抽象為直觀。心理學理論告訴我們,利用圖形語言進行記憶具有符號語言所不能及的優越性。函數的性質都可采用圖形語言來幫助理解和記憶,這樣學生學起來就會感到很輕松而且記憶也很深刻。同時訓練“數”“形”互化,建立圖形語言與符號語言的轉換關系,利用圖形語言來輔助思維和表達思維,使學生更易接受和掌握函數知識。

參考文獻:

[1]郝妍琴.關于中職生函數概念理解的調查研究[J].教育與職業,2006,(6):114.