中學常用數學思想方法

姚永奎　桑志英　劉金元

數學思想是對數學知識的本質認識,是對數學規律的理性認識,是從某些具體的數學內容和對數學的認識過程中提煉上升的數學觀點,它在認識活動中被反復運用,帶有普遍的指導意義,是建立數學和用數學解決問題的指導思想。常見的數學思想包括化歸思想、分類思想、分類思想、模型思想、極限思想、統計思想、最優化思想等。數學方法是從數學角度提出問題、解決問題的過程中所采用的各種方式、手段、途徑等。數學思想和數學方法是緊密聯系的,一般來說,強調指導思想時稱數學思想,強調操作過程時稱數學方法。一般情況下數學思想與數學方法不加以區分,統稱為數學思想方法。在中學數學中常用的有數學歸納法、反向歸納法、不完全歸納法、類比法、分析法、綜合法、遞推法、待定系數法、數形結合法、補集法等數學方法。筆者現就常用的數學思想、方法作一簡單介紹。

1 分析法

分析法是一種執果索因的證明方法,其證明的程序是:先假設所要求證明命題的結論是正確的,由此逐步推出能保證結論成立的必要的判斷。當這些判斷恰為已證的命題(定義、定理、公理、法則、公式等)或待證命題的已知條件時,命題得證。分析法也可用于解答應用題,在解題時,如果解題所需要的兩個條件,(或其中的一個條件)是未知的,就要分別求解找出這兩個(或一個)條件,一直到所需要的條件都是已知的為止。分析法適于解答數量關系比較復雜的應用題。

2 綜合法

綜合法是從已知到未知(從題設到結論)的邏輯推理方法。它從題設中的已知條件或已證的真實命題出發,經過一系列的中間推理,最終導出待證命題的結論的正確性。它與分析法是相反的思維過程,兩者互相依賴、相互滲透,分析是綜合的基礎,綜合是分析的深化。綜合的過程,是思維運動由部分到整體、由簡單到復雜的過程。在科學認識中,人們把零散的、個別的認識,經過綜合提高到理性的整體認識,整體一旦形成,人的認識就告一段落。正是綜合的思維方法,使認識產生質的飛躍,使人們能夠取得研究上的新突破。由于綜合向人們提供的不是關于對象的全部情況的個別規定、個別因素,而是關于對象的全部情況和發生、發展的整個過程,因此可以認為綜合也是一種創造。

3 數學歸納法

數學歸納法是一種數學證明方法,是證明一個表達式在所有自然數范圍內成立,或者用于確定一個其他的形式在一個無窮序列是成立的,最早的使用數學歸納法的證明出現于Francesco Maurolico的Arithmeticorum libri duo(1575年)。這種方法是由下面兩步組成:1)遞推的基礎,證明當n= 1時表達式成立;2)遞推的依據,證明如果當n=k時成立,那么當n=k+1時同樣成立,即證對所有的自然數成立。這個方法的原理是第一步證明起始值在表達式中是成立的,然后證明一個值到下一個值的證明過程是有效的。如果這兩步都被證明了,那么任何一個值的證明都可以被包含在重復不斷進行的過程中,從而得到結論。

4 反向歸納法

反向歸納法是一種數學證明方法,是證明當n屬于所有自然數時表達式成立,這種方法是由下面兩步組成:1)證明對無數多個自然數命題成立;2)如果當n=k+1時命題成立,推出當n=k時命題成立。即證對所有的自然數成立。

5 類比法

類比法也叫“比較類推法”,是指由一類事物所具有的某種屬性,可以推測與其類似的事物也應具有這種屬性的推理方法。類比推理的基本原理可以用下列模式來表示:A對象具有屬性a、b、c,另有屬性d;B對象具有屬性a、b、c,所以,B對象具有屬性d。類比法的特點是“先比后推”。“比”是類比的基礎,“比”既要共同點也要“比”不同點。對象之間的共同點是類比法是否能夠施行的前提條件,沒有共同點的對象之間是無法比的。

6 二分法

二分法就是將被分概念一貫的分成兩個矛盾概念,一直到不能再分為止。例如四邊形先分為簡單四邊形與非簡單四邊形,簡單四邊形分為凸四邊形與非凸四邊形,凸四邊形又可以分為平行四邊形與非平行四邊形。

7 數形結合的思想方法

數形結合是數學解題中常用的思想方法,它的思想可以使某些抽象的數學問題直觀化、生動化,能夠使抽象的問題變得形象,更容易把握數學問題的本質,使得很多問題解法簡單,迎刃而解。現在中學數學中經常根據數與形之間的對應關系,通過數與形的相互轉化來解決數學問題,這就是數形結合的思想方法。現在經常用到的數形結合有4種:1)實數與數軸上的點的對應關系;2)函數與圖象的對應關系;3)曲線與方程的對應關系;4)以幾何元素和幾何條件為背景建立起來的概念。

當然,在日常的教學中,除了上述方法外,還會用到第二數學歸納法,用字母代替數的思想方法,集合的思想方法,函數、映射、對應的思想方法,最優化的思想方法,分類的思想方法等思想方法。在平常的整個教學活動中要展現數學思想方法,充分貫徹數學思想方法的教學。■

(作者單位:山東省濰坊科技學院)