２００８年全國高考江西卷（理）２２題解題思路剖析

題目：已知函數f（x）=++，x∈（0，+∞），

（1）當a=8時，求f（x）的單調區間；

（2）對任意正數a，證明：1＜f（x）＜2。

分析：第（1）小題是常規問題，一般考生都可順利解決，不加贅述。筆者對第（2）題的證明思路的探求過程作具體剖析。

一、先分析不等式的左邊部分，即f（x）＞1的證明思路的探求

數學教育家波利亞在《怎樣解題》一書中指出：“你能不能從已知數據導出某些有用的東西?你能不能想出適合于確定未知數的其他數據?如果需要的話，你能不能改變未知數或數據，或者二者都改變，以使新未知數和新數據彼此更接近? ”不妨先對f（x）中的進行適當變形：==，令b=，則f（x）=++，使f（x）的表達式成為關于x、a、b的輪換對稱式，便于變形和思路的探求。

思路分析（一）：用等價轉換思想方法，對要證的不等式進行變形。

要證的不等式f（x）＞1++

=＞1

++＞（1+a）（1+b）+（1+x）（1+b）+（1+x）（1+a）+2（1+b）+2（1+a）+2（1+x）＞（1+x）（1+a）（1+b），

不等式兩邊展開整理，并利用原來假設b=abx=8可得，只要證不等式：x+a+b+2（1+b）+2（1+a）+2（1+x）＞6，而由x、a、b∈R，且xab=8，得：x+a+b≥3=6，所以上述不等式成立，即原不等式f（x）＞1成立。

思路分析（二）：利用指數函數的性質放縮。當0＜t＜1時，y=t是減函數，所以可得：++＜++，所以要證1＜f（x）只要證：

1≤++1≤

（1+x）（1+a）（1+b）≤（1+a）（1+b）+（1+x）（1+b）+（1+x）（1+a）

3+2（x+a+b）+ax+bx+ab≥1+（x+a+b）+（ax+bx+ab）+abx

3+（x+a+b）≥9x+a+b≥6，顯然x+a+b≥6成立，所以原不等式成立，思路找到。

二、再探索右邊的不等式的證明思路

思路（一）：觀察不等式的形式，明顯可以看出，應用均值定理、柯西不等式均無法解決問題。而受第（1）小題的影響，就會聯想到是否可用導數去求得函數的最小值小于2的結論，若能，問題就解決了。

對f（x）求導，可得：f′（x）=-+，解f′（x）=0，（）=，只有當a=8特殊值時可解得x=1，否則無法解此方程，此路不通，思維受阻。

思路（二）：剩下只能尋找放縮法這條思路。如何放縮？“度”如何把握？波利亞在《怎樣解題》中指出：“如果你不能解決所提出的問題，可先解決一個與此有關的問題。你能不能想出一個更容易著手的有關問題?一個更普遍的問題?一個更特殊的問題?一個類比的問題?你能否解決這個問題的一部分?僅僅保持條件的一部分而舍去其余部分。這樣對于未知數能確定到什么程度?它會怎樣變化?你能不能從已知數據導出某些有用的東西?你能不能想出適合于確定未知數的其他數據?如果需要的話，你能不能改變未知數或數據，或者二者都改變，以使新未知數和新數據彼此更接近?”按照這一思維方式和不等式證明的經驗，就想到能否證明：f（x）＜2-a，其中a＞0。因為f（x）=++中的三個分式關于x、a、b成輪換對稱，所以進一步考慮到：能否證明＜M？即能否證明＜M？若能，同理也可證：＜N，＜T，如果能使M+N+T=2-a，其中a＞0，那問題就解決了。

接下去就從更容易的一部分著手，先探索＜M的證明思路。

∵=1-＜1-+=1-，

∴得＜1-。

同理可得：＜1-，＜1-。三式相加得：

f（x）=++＜2+1-++。

接下去要考慮的是能否證明：

1-++＜0++＞2x（1+a）（1+b）+a（1+x）（1+b）+b（1+x）（1+a）＞2（1+x）（1+a）（1+b）x+a+b＜6，與前面證得的x+a+b≥6矛盾，說明所用的放縮法中的“度”太大了。怎樣把放的“度”縮小一點？若三式中只放兩式，這樣“度”可以小一點，不妨可以再試一下，變成＜1-，＜1-，=三式相加：

f（x）=++＜2-+-，這樣，只要能證明+-＞0，而abx=8x=，+≥，

∴只要證＞（1+a）（1+b）＜ab+8a+b＜7，這樣實際上找到了當a+b＜7時，f（x）＜2的證明方法。

留下的問題是能否證明：當a+b≥7時，不等式f（x）＜2也成立？

由f（x）輪換對稱式的對稱性，不妨令x≥a≥bxab＞b0＜b≤2，又a+b≥7，∴a≥5，≤；x≥a≥5，≤；＜1，三式相加：f（x）=++＜++1＜2，∴找到了當a+b≥7時，，不等式f（x）＜2也成立的證明方法，這樣問題徹底解決。

為了考查考生的分析問題、解決問題的能力，選拔優秀人才，設置少量的對能力要求比較高的新型試題是很有必要的，所以在教學活動中，對基礎較好的學生特別要注意思維能力的培養和訓練，努力提高學生分析問題、解決問題的能力。

參考文獻：

［1］G#8226;波利亞.怎樣解題.上?？萍汲霭嫔纾?002.6.