ＨＩＶ／ＡＩＤＳ傳播動力學的數學建模及分析

摘 要： 本文所建立的模型是用常微分方程組來描述的，考慮了垂直感染、AIDS病人具有傳染性、AIDS病人有可能恢復到潛伏期這些因素。利用系統方程，直接推出：當AIDS引起死亡率增加時，社會總人口衰減。

關鍵詞： HIV/AIDS傳播 數學建模 動力學模型

1.引言

通過數學建模來研究HIV/AIDS的傳播規律，是預測和控制HIV/AIDS的理論基礎，也是數學與傳染病學的有機統一。到目前為止，已有許多研究者建立并研究了一些非常有用的關于HIV/AIDS傳播的數學模型。Mukandavire等人把總的性活躍人群分成男女兩大類，并進一步把男性、女性人群分成三部分：易感人群、處于潛伏期的人群和處于發病期的人群。患者從感染HIV到發展成AIDS病人要經歷兩個不同的發展時期：隱潛伏期和潛伏期。而Mukandavire等人又進一步把未感染HIV的人群分成兩類：容易感染HIV的人群和有文化素養的人群，建立了離散的時延常微分方程組，并對其進行定性分析，研究公共衛生教育對疾病傳播的預防作用；但是他們忽略了一個重要因素，即治療性疫苗可以使一些AIDS病人轉移到潛伏期。

AIDS病人有較高的傳染力，但一些模型［３］［５］卻忽略了這一點。Elamin等人考慮到了此因素，但忽略了治療性疫苗對AIDS病人的作用。Gumel等人建立了較完美的模型，卻忽略了垂直傳播這一因素。

筆者建立了HIV/AIDS傳播的動力學模型，考慮了垂直感染、AIDS病人具有傳染性、AIDS病人有可能恢復到潛伏期這些因素。利用系統方程，直接得出：當AIDS引起死亡率變化時社會總人口衰減。

2.動力學模型的建立及分析

筆者把總人群分為五大類，分別為低危險人群S、高危險人群外S，處于隱潛伏期的人群E、處于潛伏期的人群I，以及處于發病期的人群A。把未感染HIV的男性同性戀者、性病病人、多個性伙伴者、靜脈注射吸毒者定義為高危險人群。剩余的未感染HIV的人群稱為低危險人群。分別用S（t）、S（t）、E（t）、I（t）、A（t）表示t時刻各類人群S、S、E、I、A的人口數目。

筆者假設人口出生率為μ，自然死亡率記為μ，設S、S、E三類人群的新生兒均進入S，考慮到垂直感染，I和A的新生兒分別以概率α、α進入S，I和A的新生兒分別以概率（1-α）和（1-α）留在I和A；S中的個體以概率β轉移到S，以概率ρ進入E；S中的個體以概率β進入S，以概率ρ進入E；E中的個體以概率σ進入I，以概率σ進入A；I中的個體以概率τ進入A；A中的個體以概率τ恢復到I；A中的個體單位時間內因AIDS死亡的概率為δ。于是可得S（t）、S（t）、E（t）、I（t）、A（t）這5類人群的變化率：

=μ+βS（t）-（μ+ρ+β）S（t）（2.1）

=βS（t）-（μ+ρ+β）S（t）（2.2）

=ρS（t）+ρS（t）-（μ+σ+σ）E（t）（2.3）

=μ（1-α）I（t）+σE（t）+τA（t）-（μ+τ）I（t）（2.4）

=μ（1-α）A（t）+σE（t）+τI（t）-（μ+δ+τ）A（t）（2.5）

圖1 方程（2.1）—（2.5）的流程圖

圖1是方程（2.1）—（2.5）的圖表描述。方程（2.1）—（2.5）相加，

++++

=（μ-μ）-δA（t）。

若出生率等于自然死亡率，即μ=μ，則上式變為：

++++=-δA（t）。（2.6）

（2.6）式表明AIDS的存在將導致社會總人口出現負增長，最終導致人群滅絕。但如果δ=0，則（2.6）變為：

++++=0。

上式表明，在AIDS不會導致個體死亡的情況下，社會總人口維持平衡，即總人口是穩定不變的。

3.結論

在有AIDS存在且其導致死亡率增加的情況下，為保持社會人口平衡，必須要求出生率大于死亡率。

參考文獻：

［1］Mukandavire，Z.et al.Modelling circumcision and condom use as HIV/AIDS preventive control strategies［J］.Mathematical and Computer Modelling，2007，46：1353-1372.

［2］James M.Hyman，Jia Li.The reproductive number for an HIV model with differential infectivity and staged progression［J］.Linear Algebra and Its Applications，2005，398：101-116.

［3］C.Connell McCluskey.A model of HIV/AIDS with staged progression and amelioration［J］. Mathematical Biosciences，2003，181：1-16.

［4］Mukandavire，Z.et al.Modelling effects of public health educational campaigns on HIV/AIDS transmission dynamics［J］.Applied Mathematical Modelling，2008.

［5］Mukandavire，Z.et al.Asymptotic properties of an HIV/AIDS model with a time delay［J］.J.Math. Anal. Appl，2007，330：916-933.

［6］Elamin H.Elbasha，Abba B.Gumel.Theoretical Assessment of Public Health Impact of Imperfect Prophylactic HIV-1 Vaccines with Therapeutic Benefits［J］. Bulletin of Mathematical Biology，2006，68：577-614.

［7］Gumel，A.B.，Connell C.McCluskey，van den Driessche.，P.Mathematical Study of a Staged-Progression HIV Model with Imperfect Vaccine［J］.Bulletin of Mathematical Biology，2006，68：2105-2128.