數學悖論與創新思維能力培養

摘 要： 本文闡述了數學悖論與創新思維的關系，并指出如何培養創新思維能力。

關鍵詞： 數學悖論 創新思維 能力培養

趣味數學歷來不被人們所重視，只是娛樂游戲的工具。然而，悖論——作為趣味數學的重要組成部分，在推動數學發展上，其作用功不可沒，它的每一次出現，都引發了數學危機。

悖論是指：如果在某一個理論系統中，能夠推出兩個互相矛盾的命題或語句，或者該系統中能證明兩個互相矛盾的等價命題或語句，則稱該理論系統中包含有悖論。而數學史上發生的三次數學危機都與悖論有關。

第一次數學危機是由不能寫成兩個整數之比引發的，而在此之前，數學界公認的是所有的數都可以寫成兩個整數之比，其實質是：是無理數，全體整數之比構成的是有理數系，有理數系需要擴充，需要添加無理數，徹底解決這一危機是在19世紀，依賴實數理論的建立；第二次數學危機則是由貝克萊大主教提出的，是對牛頓“無窮小量”說法的質疑引起的，它的實質是缺少嚴密的極限概念和極限理論作為微積分學的基礎。直至柯西創立極限理論及魏爾斯特拉斯創立“ε-δ”語言，才徹底地反駁了貝克萊的責難；第三次數學危機由羅素悖論引發的危機。羅素構造了一個集合s：s由一切不是自身元素的集合所組成。然后羅素問：“s是否屬于s呢？”不論怎樣回答，都會產生矛盾。為了消除悖論，數學家要將康托“樸素的集合論”加以公理化，并且規定構造集合的原則，但第三次數學危機的解決，并不是完全令人滿意的。

雖然悖論引發了3次數學危機，但是隨著危機的消除，數學也在步步向完備體系發展，可以說，悖論在整個數學發展史中，起著不可磨滅的作用，它的作用主要表現在檢驗、完善某一理論體系，推動數學的發展。第一次數學危機促成了公理幾何與邏輯的誕生；第二次數學危機促成了分析基礎理論的完善與集合論的創立；第三次數學危機促成了數理邏輯的發展與一批現代數學的產生，數學由此獲得了蓬勃發展。然而，每一次悖論的發現都需要突破常規的思維方式才可以做到，而突破常規的思維方式就需要創新。

下面舉幾例說明如何在悖論中，找到創新點，發散思維，解決問題。

例1：老板損失了多少。

有個人在A店鋪買了90元的東西，然后交給店鋪老板一張100元的鈔票。由于店鋪老板正好沒有零錢可找，便到隔壁B店鋪兌換了零錢，找給這個人10元。過了一會，B店鋪老板發現這張100元的鈔票是假鈔，便找到A店鋪老板要求賠償。A店鋪老板無奈，只好又賠償了B店鋪老板100元錢。過后，A店鋪老板非常氣惱，認為自己損失了200元；而B店鋪老板安慰他說，只損失了10元。請問：究竟A店鋪老板損失了多少錢？

分析：老板到底損失了多少錢？200元？10元？還是其他數額？每個答案似乎都有道理，學生經過一定的思考和討論，一定會悟出：解決這個問題的關鍵在于明白受益和損失是一種對稱關系。在A店鋪老板與買東西的人之間，買東西的人什么也沒有支付，卻受益了100元，所以在此次交易中，A店鋪老板損失了100元；在A店鋪老板與B店鋪老板之間，因為B店鋪老板沒有任何受益，所以A店鋪老板就沒有任何損失。綜上，A店鋪老板損失了100元。

例2：賣蘋果。

有兩筐各30公斤的蘋果要賣。其中，一筐大蘋果每2公斤賣6元，另一筐小蘋果每3公斤賣6元。這時有個人過來說：“這樣分開賣，還不如搭配著賣。2公斤大蘋果搭配3公斤小蘋果，一共賣12元。”賣蘋果的認為這個建議合理，就開始搭配著賣。于是這個人又說：“那我就全買了。5公斤搭配蘋果12元，60公斤為12×12=144元。”賣完蘋果后，賣蘋果的人發現上當了。請問賣蘋果的人是怎么上當的？

分析：賣蘋果的人之所以上當，是因為將局部成立的比例關系的傳遞性，當成了整體成立的比例關系的傳遞性，因而產生了計算錯覺。本題中，30公斤小蘋果按3公斤一份劃分，可以分為10組；而30公斤大蘋果按2公斤一份劃分，可以分為15組。因此，將它們以3∶2的比例搭配時，組合到第10組時，小蘋果就組合完畢，余下的5組10公斤大蘋果就不可能再按3∶2的比例組合，只能以大蘋果的實際價格來賣了。如果仍然按搭配價格來賣，自然就會少賣錢了。即：10公斤大蘋果應該賣：6（元）×5（組）=30（元），而實際上只賣了12（元）×2（組）=24（元），所以賣蘋果的人少賣了6元。

從上面兩例可以看出，悖論學習與創新思維密切相關，在教學中教師切不可忽視它的作用。那么如何培養創新思維能力呢？

創新思維的過程是開發大腦的一種發散思維過程，它是把某種有一定“依據”的“空想”變為“現實”的大腦活動過程，是通過思考，以概念、判斷、推理、設計、指導實踐等形式反映客觀事實的能動過程。創新思維的開發不但與人的智力因素有關，而且還與人的非智力因素密切相關。非智力因素包括人對環境的適應能力、直面困難和解決困難的控制能力；它還包括仔細觀察事物、坦率和明確地擺出自己的意見與方案、做事專注而快速、能在合作中擺正自己的位置和發揮自己的作用、善于控制情緒、做事堅持不懈的能力。

創新思維要求人們具有一定的創造性思維技巧。創造性思維技巧是指以各種智力因素與非智力因素為基礎，在創造活動中，表現出來的具有獨創的、能產生新事物的高級的復雜的思維技巧。創造性思維技巧的本質特征就是開拓和創新，即通過對已有信息進行再加工、組合、分解、重構，最后達到新發現和新突破。要學會新的思維方式，它要求我們掌握邏輯思維技巧、形象思維技巧、輻射思維技巧，以及逆向思維技巧，等等，尤其要學會通過多種思考方法的交叉互滲整合，才會發現新的突破。創新思維不僅需要有分析洞察的能力，還要有邏輯推理、辯證思維能力和善于發現的能力。另外，創新還要求突破常規思維。

至于如何培養創新思維，使自己的思維“軟化”，首先是拓寬思維的廣度，從更寬廣的范圍內，把握事物之間的聯系；其次是擴大觀察范圍，為思維注意力的適時轉移、分配做好準備，并以此消除思維定勢的影響；再次是破除思維障礙，想得再多點，再寬點，從而突破格式塔的完形心理（格式塔是德文Gestalt的意譯，意為完整結構）。從選擇心理上講，在競爭性的互動選擇中，每個人都希望自己受益最大。但從格式塔心理學角度來看，結構不是其組成部分的簡單相加，其組成部分的性質是由內部系統性整體結構決定的。這也就是“格式塔”的意義所在；第四是培養群體協作精神，其目的是為了集思廣益，從而激勵群體的集體智力，開發更多的思路；第五是避免一味地求同，從而真正體現創新思維的“求異”的題中應有之義。

國外曾經進行過一個動物實驗：把一只雞放在一道柵欄一側，另一側則放上雞食。盡管繞過柵欄即可以吃上雞食，但這只雞除了咯咯地一邊叫，一邊盯著雞食盆干瞪眼外，再無其他辦法。國外還曾經有過一個動物實驗：把跳蚤放在一個密封的容器中，跳蚤的每一次跳都碰到容器蓋。當把容器蓋取掉后，跳蚤只能跳到原來容器蓋的高度，再也跳不出容器了。雞和跳蚤不能突破本能的障礙，但人卻可以突破思維的障礙。只要假以時日，經過有目的的訓練之后，偶而為之的“異想天開”，可以經過一個由量變到質變的過程，在一個新的思維能力高度上穩定地形成具有創新根基的“標新立異”。

因此，在創新思維活動中，為了突破“常識”的束縛，我們應該記住前蘇聯心理學家魯賓斯坦的一句話：“為了做出可能的事，不要忘記去做不可能的事。”為了使思維更趨于靈活、全面，就必須打破這種順序性的限制，針對事物的不同情況，多向發散，及時、靈活地改變對事物結構、順序的認識，以一種嶄新的非順序性的體驗看待事物。

創新思維是當今社會生存的通行證，是一個國家提高競爭力的重要因素之一，也是一個人在這個社會上立足的重要基礎之一。在勇攀知識的高峰中，我們每個人都需要創新精神；在日益激烈的競爭中，惟有憑借創新精神，我們才可以脫穎而出。

參考文獻：

［1］《科學美國人》編輯部.從驚訝到思考──數學悖論奇景［M］.北京：科學技術文獻出版社，1982.

［2］明清河.數學悖論的發展與研究［J］.山東教育學院學報，2003，（2）.

［3］原來.365天創意思維訓練游戲［M］.北京：新華出版社，2004.