解讀高考三角函數

近幾年高考對三角函數部分的考查保持了三個穩定（內容、題量、分值），難度適中，其考查主要有兩個方面：一是三角函數的變換，二是三角函數圖象和性質。解題過程一般是先進行恒等變換，再利用三角函數圖象和性質解題。

對能力的考查主要是演繹推理能力、計算能力、綜合應用知識解決問題的能力，體現的數學思想有化歸思想、分類討論思想、函數思想等。

考查的知識點有三角函數的最小正周期、奇偶性、單調性、圖象對稱性，二倍角公式，兩角和與差的正弦、余弦、正切公式，三角函數的值域（包括最值）。

解題原則：注重通性通法，淡化特殊技巧。

一、基本性質考查

三角函數的基本性質主要有最小正周期、奇偶性、單調性、圖象對稱性。

（1）對于周期可以從以下兩個方面考慮：（a）形如f（x）=Asin（ωx+?準）（ω＞0），T=。（b）依據f（x+T）=f（x）檢驗。

（2）對于對稱性，已知x=b對稱軸方程，通常把x=b代入，得sin（ωb+?準）=±1或由f（b+x）=f（b-x）解題，若求對稱軸方程，通常令ωx+?準=kπ+（k∈Z）解出x即為對稱軸方程；若圖象關于點（b，0）對稱，通常利用f（b+x）=-f（b-x）或f（b）=0解題。

（3）對于奇偶性與單調性只需用定義解題即可。

二、常用公式考查

三角常用公式有誘導公式及S，C，S，T，T。主要應用這些公式進行三角恒等變換。

三、三角函數綜合應用

三角函數基本應用主要在解三角形中的應用及實際應用，而實際應用題最終轉化為解三角形，三角形中的三角函數問題一直處于中檔題，只要將三角形中的特殊條件梳理清楚，選用正弦定理或余弦定理，問題基本就能順利解決。

三角函數通常與數列、不等式等知識點的綜合題往往有一定的難度。

范例分析：

例1：f（x）=cos（ωx-）的最小正周期為，其中ω＞0，則ω=。

解：T==，易得ω=10。

例2：已知函數f（x）=sin（2x+φ）（-π＜φ＜0）圖象的一條對稱軸是直線x=，求φ。

解法一：∵x=是函數y=f（x）的圖象的對稱軸，

∴sin（2×+φ）=±1，∴+φ=Kπ+，K∈Z。

∵-π＜φ＜0，∴φ=-。

解法二：函數f（x）=sin（2x+φ）（-π＜φ＜0）圖象的一條對稱軸是直線x=，

∴f（0）=f（），∴sinφ=sin（+φ），∴sinφ=cosφ。

又∵-π＜φ＜0，∴φ=-。

解法三：由對稱軸知，f（+x）=f（-x），即sin（+2x+φ）=sin（-2x+φ），亦即2cos（+φ）sin2x=0恒成立。

∵cos（+φ）=0，又∵-π＜φ＜0，∴+φ=-，∴φ=-。

簡評：本題主要考查三角函數性質及圖象的基本知識，考查推理和運算能力。

例3：已知f（x）=cos（2x-）+2sin（x-）sin（x+），求函數f（x）的最小正周期和圖象的對稱軸方程。

解：由f（x）=cos（2x-）+2sin（x-）sin（x+），得f（x）=cos（2x-）+2sin（x-）cos（x-）=cos（2x-）+sin（2x-），

即f（x）=sin2x-cos2x=sin（2x-），

∴T=π，令2x-=kπ+，解得對稱軸方程為x=+（k∈Z）。

簡評：本題考查了誘導公式，二倍角公式，兩角和與差的正弦、余弦公式，最小正周期及對稱軸等知識點。解題過程是先進行三角恒等變形，再求三角函數的圖象的周期與對稱軸。它屬于常規題。

例4：在△ABC中，a、b、c分別為角A、B、C所對的邊長，a=2，tan+tan=4，sinBsinC=cos，求A、B及b、c。

解：由A+B+C=π，得=-，tan+tan=4，

即+=4，sinC=，故C=，A+B=。

又sinBsinC=cos，得sinB=1+cosA，sinB+cosB=1，

sin（B+）=1，得B=，A=。

再由正弦定理==易得b=c=2。

簡析：本題先在三角形的條件下進行三角恒等變形，用到切化弦、二倍角的正弦及兩角和的正弦公式，再由正弦定理解得b、c，是一道中檔題。

例5：（2008.湖南）在一個特定時段內，以點E為中心的7海里以內海域被設為警戒水域，點E正北55海里處有一個雷達觀測站A。某時刻測得一艘勻速直線行駛的船只位于點A北偏東45°且與點A相距40海里的位置B，經過40分鐘又測得該船已行駛到點A北偏東45°+θ（其中sinθ=，0°＜θ＜90°）且與點A相距10海里的位置C。

（I）求該船的行駛速度（單位：海里/時）；

（II）若該船不改變航行方向繼續行駛，判斷它是否會進入警戒水域，并說明理由。

解：（I）如圖，AB=40，AC=10，∠BAC=θ，sinθ=，

由于0°＜θ＜90°，所以cosθ==。

由余弦定理得BC==10，

所以船的行駛速度為=15（海里/小時）。

（Ⅱ）略

簡析：本題考查應用所學知識解決實際問題的能力，解題的關鍵在于建立適當的直角坐標系，計算船的行駛速度用余弦定理即可解決。

例6：△ABC的面積為1，tanB=，tanC=-2，求△ABC的三邊及△ABC外接圓的直徑。

解：由tanC=-2知C為鈍角，∴cosC==，

∴cosC=-，sinC=，同理由tanB=得cosB=，sinB=，

sinA=sin（B+C）=，由b=，∴S=absinC=1，

解得a=，b=，c=，2R==。

簡析：本題是解斜三角形，在三角恒等變形中用到了同角三角基本關系及誘導公式，解三角形中用到正弦定理，屬中檔題。

通過上述淺析，三角題都能在教材中尋到基本原型題。因此，在三角復習中，要以課本為主，梳理整合知識點，強化重點內容，提煉數學思想方法，突出通性通法，講究知識的綜合應用，提高分析問題、解決問題的能力，必能提高復習效率。