在變化中找不變

摘 要： 復雜變化的背后總是隱藏“不變量”，善于發現、利用“不變量”對數學問題的解決是很有幫助的。

關鍵詞： 變化 操作變換 不變量

在數學問題中往往有很多變量，還有很多對對象、數據按一定規則進行的變換和操作，這些無疑增加了問題的復雜性，給問題的解決增加了難度。但在這些復雜變化的背后總是隱藏著一些沒有變化的東西，那就是不變量。抓住不變量就成了解決問題的關鍵。

一、圖形變化中的不變量

例1：在直角梯形ABCD中AD=2，BC=3，AB⊥BC，DC繞D點逆時針旋轉到DE，求S。

分析：梯形的高AB是變化的從而DC，DE和所求的三角形都是變化的，但按逆向思維，三角形的面積是定值，底邊AD是定值故AD上的高是不變量。抓住這一點問題得解。

解：過E作EG⊥AD交AD延長線于G，過D作DF⊥BC于F，在Rt△DFC和Rt△DGE中∠FDC=∠GDE=-∠CDG，又因CD=ED，

∴Rt△DFC≌Rt△DGE，

∴EG=CF=3-2=1，

∴S=AD·EG=1。

二、解析幾何中坐標變換中的不變量

在解析幾何中進行坐標平移、旋轉時曲線的方程是變化的，但曲線自有的性質不會變化。

例2：已知拋物線的焦點坐標是（2，4），且以x軸為準線，求該拋物線的方程。

分析：焦點F到準線的距離p是一個不變量，可直接求出；同時拋物線的頂點平分焦點F到準線的垂線段這一性質也是不變的。

解：由題意可知，拋物線的對稱軸與x軸的交點K的坐標為（2，0），而頂點O′又是KF的中點（如圖2），故可求出O′的坐標為（2，2），于是可設拋物線方程為：

（x-2）=2p（y-2）。又p=|KF|=4，

故所求拋物線的方程為：（x-2）=8（y-2）。

三、求極限問題中的不變量

例3：從平面上一個點S=（a，b），（0＜a＜b）出發，按下列規則產生一系列點（x，y）， x=a，y=b，x=，y=，求：x和y。

分析：由調和平均與算術平場的關系有a＜…＜x＜x＜y＜y＜…＜b，顯然{x}單調上升有上界b，單調下降有下界a。故x與y都存在。

設x=M，y=N，在y=兩邊取極限有N=，從而有M=N。

又因為xy=xy=…xy=ab即x與y的積是不變量，

所以x·y=xy=ab=ab，

所以x=y=。

四、對對象、數據進行操作變換中的不變量

例4：設n名選手參加一次乒乓球循環賽，沒有平局出現，第i名選手勝ω場，負ξ場。

求證：ω=ξ。

分析：抓住兩個不變量，①全部選手的勝場總和與負場總和相等。②任一選手的勝場與負場總和是不變的（為n-1）。

解：顯然有ω=ξ和ω+ξ=n-1，i=1，2，3，…n。

∴ω-ξ=（ω+ξ）（ω-ξ）=（n-1）（ω-ξ）=0，

∴ω=ξ。

例5：已知3個數5、12、18每一次操作是從這三個數中任選2個a，b并用（a+b），（a-b）代替它們，問是否能經過有限次操作后得到3個數為3、13、20？

解：在此操作中，由于a+b=［（a+b）］+［（a-b）］即每一次操作后數據的平方和不變，但5+12+18≠3+13+20，故不能。

以上各例涉及的內容各不相同但解決問題的關鍵都是抓住了不變量，可見善于發現、利用“不變量”對數學問題的解決是很有幫助的。

參考文獻：

［1］［德］A·恩格爾.解決問題的策略.上海教育出版社.

［2］張奠宙編.數學方法論稿.上海教育出版社，1993：61-64.

［3］熊斌，劉雄，余紅兵.高中數學競賽教程.華東師大出版社，2007.