關于輔助線的畫法淺探

數學是研究數量關系與空間形式的科學。在數學教學中，教師一方面揭示概念、定理、公式、法則的實際內容，另一方面發揮著數學的高度抽象的特點，使學生深刻理解抽象內容的實質與形成，給學生在數學的應用能力上打下堅實的基礎，并且逐步使他們在分析、概括、抽象等能力上得到充分的培養。邏輯上的嚴密性是數學的一個突出特點。培養學生的邏輯思維能力和創造性思維能力，其意義不僅在于為他們學好數學打基礎，更是為他們能具有處理任何問題、開發新思維這項能力打下基礎。邏輯思維能力和創造性思維能力的培養體現在推理證明和添置輔助線的作法上，它能培養與發展學生的觀察、想象與表達幾何形象的空間想象能力。如何添置輔助線來幫助解決問題是一個難點，下面我就這個問題進行一些探討。

一、添置輔助線及其作用

學生在思維時要做到概念明確、判斷恰當、推理有邏輯性、論證有說服力，這是最起碼的要求。因此在教學中，教師必須加強學生邏輯思維能力的培養，使學生發揮想象能力，正確地添置輔助線;學生必須準確牢固地掌握概念及定理的來龍去脈，同時還要理解添置輔助線的作用。

輔助線起著連接推理步驟的橋梁作用，使思維借助直觀而增加其形象性。其作用具體可歸納為四個方面:

(一)變位

將已知線段、直線或角改變原來位置，便于找出圖形間的內在聯系。

例1:求證對角線相等的梯形是等腰梯形。

如圖1，我們可作DE∥AC交BC的延長線E。

(二)轉換

將已知條件轉換為輔助線的性質，從而建立圖形間的新聯系。

例2:已知AD、BC為平行線，AB為其間的斜線，AC為BC的垂線，引直線BED交AC于E，交AD于D，且ED=2AB，如圖2。

求證:∠DBC=∠ABC。

分析:O是ED的中點，連結AO。

∴AO=ED

∴OA=AB

∵∠3=2∠4，∠2=∠3

∴∠2=2∠4

∴∠ABC=3∠DBC。

(三)關聯

將分散的條件集中起來，以輔助線為媒介，取得聯系，從而發現圖形間的內在聯系。

例3:已知四邊形ABCD中，AB=CD，E、F分別是BC、AD的中點，延長BA、CD與直線EF交成∠1與∠2，如圖3。

求證:∠1=∠2。

分析:可連結AC，G為AC的中點，再連結FG、EG，

∴∠2=∠3，∠1=∠4，∠3=∠4

∴∠1=∠2。

(四)構形

通過輔助線將已知圖形構成新的圖形，從而可以利用新的圖的性質進行推證。

例4:已知△ABC的內角平分線AD延長后，交外接圓于E，如圖4。

求證:AB∶AD=AE∶AC。

分析:連結CE，

∴∠E=∠B，∠1=∠2

∴△ABC∽△AEC

∴=

∴=

即=。

二、輔助線的作法及其尋求方法

在教學中，教師要使學生對所學知識的應用形成技能和技巧。就是在教師的指導下，學生能運用所學的知識自覺地完成某種活動，這就形成了相應的技能，而技能再經過系統、反復的練習，達到熟練的程度，便形成了技巧。學生只有掌握應用的技能和技巧，才能進一步學得知識。因此，學生還要掌握輔助線的作法類型和輔助線的尋求方法。

(一)輔助線的作法類型

1.連結法(包括先取點再連結)

例如，三角形的中線、中位線，四邊形的對角線，圓的半徑和弦相交，兩圓的公共弦等。

2.延截法

有關中線的問題多用此法。例如，延長一線段與已知直線相交，得到新圖形，或者延長并截取一線段等于已知線段等。

3.過線外一點作平行線

如平行移動一線段構成三角形或平行四邊形，梯形的對角線或腰，作平行線形成比例線段或相似形等。

4.作垂線

如作三角形的高，由角平分線上的點向邊作垂線，或作角平分線的垂線，作梯形的高，圓的弦心距，過半徑的外端作切線等。

5.作角的平分線

利用其對稱性質。

6.作一個角等于已知角

如已知直線為一邊作一角等于已知角，在圓弧上取一點作圓周角或弦切角。

7.作兩圓的公切線

(二)輔助線的尋求方法

在掌握輔助線的基本作法后，輔助線的尋求就基本有法可循了。思維方法一般有三種情況:

1.綜合法

從已知條件出發，根據給出的圖形的基本性質選擇輔助線。

例5:已知△ABC的兩高是BD、CE，外接圓中心是O，如圖5。

求證:AO⊥DE。

分析:過A作⊙O的切線。

∵AF⊥OA，只要DE∥AF即可。

從圖上可知B、C、D、E四點共圓。

∴∠2=∠BCD，且∠1=∠BCA

∴∠2=∠1

∴AF∥ED

∴AO⊥ED。

2.分析法

從結論出發尋求證題思路，相應地作出需要的輔助線，如上面的圖4的題目。

3.利用圖形的變換尋求輔助線

(1)平移

將已知線段平移構成平行四邊形。如圖1的題目。

(2)對稱變換

軸對稱(反射)，中心對稱。角平分線的問題很多時候都會用到反射的知識。

例6:在直線的同旁有兩點，如圖6，求在直線上一點到這兩點的距離最小。就是選出A的對稱點A，連結AB就得到與直線相交的點P。

(3)旋轉。特別適用于正方形、正三角形一類有關的題目。

例7:已知P為正△ABC外接圓劣弧BC上一點，如圖7。

求證:PB+PC=PA。

分析:若△ABP以A為中心旋轉60°即可證明。

添置輔助線的問題對于培養學生思維能力，空間想象能力和開發創造性思維能力有著重要的意義和作用，中學數學教學所擔負的發展學生邏輯思維能力這個任務是十分重要，而發展學生的創造性思維也很艱難，但我們只要善于探索，不懈努力，就會取得豐碩的果實。