如何講好ＦＩＳＨＥＲ確切概率法

摘 要: FISHER確切概率法是雙總體的比率假設檢驗的重要方法，也是數理統計教學的重要內容，但現有的課本對該方法原理的介紹都過于簡略，以致學生往往很難理解和掌握該方法。本文針對這一實際情況，對FISHER確切概率法進行詳細系統的證明，并指出了講解該方法的要點，同時結合MATLAB程序實現該方法， 教師可以在課堂上演示。實踐證明，這種深入剖析且可視化的講解方法，大大提高了學生的學習興趣，收到了良好的教學效果。

關鍵詞: 比率假設檢驗 FISHER確切概率法 MATLAB程序算法

前言

雙總體的比率假設檢驗是數理統計學科中比率假設檢驗的一項重要內容，在大樣本的情形下，根據中心極限定理，用正態逼近法進行檢驗。20世紀英國統計學家FISHER提出了確切概率法，該方法在大小樣本的情形下都可以使用。相比較正態逼近法，該方法適用范圍廣且比較精確，可以檢驗水平保證不超過給定的α;缺點是計算麻煩。所幸隨著計算機的高速發展，計算已然不成問題，但仍存在難以理解其原理的問題。筆者在教學過程中發現，現有的數理統計和醫學統計教科書對該方法的介紹都是點到即止，對原理剖析得不夠透徹，增加了理解難度，學生普遍反映難以理解該方法。因此筆者在此詳細探究FISHER確切概率法的證明過程，以補充教科書的不足;根據學生反饋對難點進行重點講解;并給出了MATLAB程序實現該方法的的詳細算法，教師可在課堂上演示，以加深學生對該方法的理解，提高學生的學習興趣。

1.FISHER確切概率法[1]

1.1問題的提出

例:某公安局有兩個刑偵組，在過去一年內第一組接手25件人命案，結果偵破了23件，第二組接手35件人命案，結果偵破了30件。問:兩個組的偵破能力有無區別?

對該問題進行數學解釋，設第一組偵破率為p，

X=1表示第一組偵破成功，其概率為p0表示第一組未能偵破成功，其概率為1-p

即X服從均值為p的伯努利分布，X，…，X為來自總體X的樣本，n=25。

同理設第二組偵破率為p，

Y=1表示第二組偵破成功，其概率為p0表示第二組未能偵破成功，其概率為1-p

即Y服從均值為p的伯努利分布，Y，…，Y為來自總體Y的樣本，m=35。

兩兩總體X，Y獨立，x，…，x，y，…，y為對應的觀察值，原假設為H∶p=p，則本質為一個雙總體的比例假設檢驗。顯然，該問題p=x=0.92，np(1-p)=1.84<5;p=∑y=0.857，mp(1-p)=4.29<5不是大樣本情形，不能用正態逼近法來解決，只能用FISHER確切概率法來解決。FISHER確切概率法也是假設檢驗方法的一種，回顧假設檢驗的步驟，現在需要找出一個在原假設成立時已知概率分布的隨機變量，然后根據這次該隨機變量值的出現是否是小概率事件來判斷原假設是否成立。

事實上，若H成立，當t=x+y固定時，則檢驗統計量S=∑X是一個服從超幾何分布的隨機變量[2]，該結論在教材上都是直接指出，而沒有詳細的解釋和證明，學生普遍反映不能理解，下面將給出該結論的詳細證明。

1.2檢驗統計量所服從的分布

統計量S=X在t=x+y固定情況下概率是一個條件概率，由條件概率公式可以得出:

P(S=i|S+S=t)=。

而P(S=i，S+S=t)

=P(S=i，S=t-i)

=P(S=i)P(S=t-i)(X，Y獨立可得)

=cp(1-p)cp(1-p)(由伯努利分布的定義可得)。

在原假設H∶p=P成立時，上式可以化簡得到:

P(S=i，S+S=t)

=ccp(1-p)。

原假設H∶p=p成立時，根據伯努利分布有P(S+S=t)=cp(1-p)。

因此，P(S=i|S+S=t)

=

=。

由超幾何分布的概率函數可知，檢驗統計量服從超幾何分布。超幾何隨機變量是離散型的隨機變量，它的值可列的。顯然，檢驗統計量S的取值s滿足s≥0，s≥t-m，s≤n，s≤t，因此它的范圍為[max(t-m，0)，max(t-m，0)+1，…，min(n，t)]。

已知了檢驗統計量的分布，接下來的任務就是根據其分布來確定該統計量的取值出于哪些范圍是屬于小概率事件，而該范圍就是拒絕域，即接下來的任務就是如何確定拒絕域。因為這之前學生接觸過的檢驗統計量一般為正態分布、t分布、卡方分布等連續型的隨機變量，很少接觸這種離散型的檢驗統計量，所以學生可能一時不知道該如何確定這種離散型統計量的假設檢驗拒絕域，這時可以通過借鑒連續型統計量的情形來引導學生推導。

1.3拒絕域的確定

借鑒連續型的情形，對于給定的檢驗水平α，我們希望找到兩個整數c和c，使得P(S≤c|S+S=t)=，P(S≥c|S+S=t)=，類似連續型情形可以確定拒絕域為[max(t-m，0)，c]∪[c，min(n，t)](見圖1)。

圖1 拒絕域的確定

然而這種希望不一定能實現，因為檢驗統計量是離散的，所以滿足P(S≤c|S+S=t)=的c不一定存在。放寬條件，尋找d和d，使得

P(S≤d|S+S=t)≤(1)

P(S≥d|S+S=t)≤(2)

這樣的d和d一定存在，但并不唯一，選擇滿足(1)等式的最大的正整數為e，滿足(2)等式的最小的正整數為e，確定拒絕域為{s≤e∪s≥e}。相對于隨機取滿足(1)(2)的拒絕域{s≤d∪s≥d}，前者有較優良的性質，即它們的檢驗水平都是≤α，但是犯第二類錯誤的概率前者是小于等于后者的(對這一點學生也需要一點時間去理解，可以舉他們熟悉的置信區間在相同的置信度下取區間長度最小進行類比，以便于他們接受)。

1.4拒絕域的轉換

雖然已經知道了檢驗統計量的分布，確定了拒絕域的形式為{s≥e∪s≤e}，求出滿足條件的e和e肯定是可以的，但在計算上很麻煩。值得慶幸的事，該定義域可以進行等價轉換。

將P(S=i|S+S=t)簡記為p(i)，

則P(S≤e|S+S=t)=p(i)≤，

P(S≥e|S+S=t)=p(i)≤，

顯然s≤ep(i)≤(因為e是滿足(1)式中最大的正整數)，而s≥ep(i)≤(因為e是滿足(2)式中最小的正整數。因此拒絕域轉換為min(p(i)，p(i))≤，等同于2min(p(i)，p(i))≤α

1.5問題的解決

對于例題，n=25，m=35，t=53，p(i)=代入公式，2min(p(i)，p(i))=2min(0.374，0.878)>0.05，沒有落入拒絕域，所以接受原假設，認為兩個組的偵破能力(偵破率)無區別。

2.MATLAB程序算法[3][4]

2.1MATLAB簡介

Matlab(MatrixLaboratory，即“矩陣實驗室”)是最優秀的數值計算軟件。主要特點有:功能強大適用范圍廣;編程效率高;界面友好用戶使用方便;語句簡單內涵豐富;功能齊備的自動控制軟件工具包等。它已經成為線性代數、自動控制理論、數理統計、數字信號分析與處理等高級課程的基本數學工具。

2.2主要算法

整個算法的流程見圖2。

圖3 子函數P(begin)的算法流程

核心算法是p(i)的計算，采用遞推來簡化計算。

p(i+1)=

=

=

=×

p(i+1)=p(i)×。

3.結語

鑒于很多教科書上對FISHER確切概率法原理的闡述過于簡單，筆者從原假設H∶p=p入手，詳細闡述了該方法的原理，并給出了詳細的MATLAB算法流程，教師可以在課堂上演示，達到較好的教學效果。對于H∶p≥p和H∶p≤p的情況教師可以讓學生參看教科書自行推導，有編程基礎的學生可以動手嘗試一下寫實現包括三種原假設FISHER確切概率法的程序。實踐證明，這種誘導型的教育方法可以較好地增強學生的參與性和調動學生的主動性，收到較好的教學效果。

參考文獻:

[1]陳家鼎.數理統計學講義[M].北京:高等教育出版社，2006.

[2]徐勇勇.醫學統計學[M].北京:高等教育出版社，2002.

[3]張志涌.MATLAB教程[M].北京:北京航空航天大學出版社，2006.

[4]張瑞豐.精通MATLAB 6.5[M].北京:中國水利水電出版社，2004.

注:南方醫科大學公共衛生與熱帶醫學院院長基金(GW200832)