函數(shù)定義域與函數(shù)其它性質(zhì)之間的關(guān)系

函數(shù)作為高中數(shù)學(xué)的主線，貫穿于整個高中數(shù)學(xué)的始終。函數(shù)的定義域是構(gòu)成函數(shù)的兩大要素之一，函數(shù)的定義域(或變量的允許值范圍)似乎是非常簡單的，然而若在解決問題中不加以注意，常常就會誤入歧途。數(shù)學(xué)中有許多有關(guān)函數(shù)的題目，求解的思路很容易想到，入手并不困難，但不少學(xué)生在求解時往往由于忽視了函數(shù)的定義域而導(dǎo)致錯解。在解函數(shù)題時，教師應(yīng)透徹理解函數(shù)定義域與函數(shù)其它性質(zhì)之間的關(guān)系和相互作用，強調(diào)定義域?qū)忸}結(jié)論的作用與影響，這對提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)是十分有益的。

一、函數(shù)關(guān)系式與定義域

函數(shù)關(guān)系式包括定義域和對應(yīng)法則，所以在求函數(shù)的關(guān)系式時學(xué)生必須考慮所求函數(shù)關(guān)系式的定義域，否則所求函數(shù)關(guān)系式可能是錯誤。如:

例1:某單位計劃建筑一矩形圍墻，現(xiàn)有材料可筑墻的總長度為100m，求矩形的面積S與矩形長x的函數(shù)關(guān)系式?

解:設(shè)矩形的長為x米，則寬為(50-x)米，由題意得:

S=x(50-x)，故函數(shù)關(guān)系式為:S=x(50-x)。

如果解題到此為止，則本題的函數(shù)關(guān)系式還欠完整，缺少自變量的范圍。也就說學(xué)生的解題思路不夠嚴密。因為當(dāng)自變量x取負數(shù)或不小于50的數(shù)時，S的值是負數(shù)，即矩形的面積為負數(shù)，這與實際問題相矛盾，所以還應(yīng)補上自變量的范圍:0

即:函數(shù)關(guān)系式為:S=x(50-x)(0

這個例子說明，在用函數(shù)方法解決實際問題時，學(xué)生必須要注意到函數(shù)定義域的取值范圍對實際問題的影響，若考慮不到這一點，就體現(xiàn)出學(xué)生思維缺乏嚴密性;若注意到定義域的變化，就說明學(xué)生的解題思維過程體現(xiàn)出較好思維的嚴密性。

二、函數(shù)值域與定義域

函數(shù)的值域是該函數(shù)全體函數(shù)值的集合，當(dāng)定義域和對應(yīng)法則確定，函數(shù)值也隨之而定。因此在求函數(shù)值域時，學(xué)生應(yīng)注意函數(shù)定義域。如:

例2:求函數(shù)y=4x-5+的值域。

錯解:令t=，則2x=t+3，

∴y=2(t+3)-5+t=2t+t+1=2(t+)+≥，故所求的函數(shù)值域是[，+∞)。

剖析:經(jīng)換元后，應(yīng)有t≥0，而函數(shù)y=2t+t+1在[0，+∞)上是增函數(shù)，

所以當(dāng)t=0時，y=1。故所求的函數(shù)值域是[1，+∞)。

以上例子說明，變量的允許值范圍是何等的重要，學(xué)生若能發(fā)現(xiàn)變量隱含的取值范圍，精細地檢查解題思維的過程，就可以避免以上錯誤結(jié)果的產(chǎn)生。也就是說，學(xué)生若能在解好題目后，檢驗已經(jīng)得到的結(jié)果，善于找出和改正自己的錯誤，善于精細地檢查思維過程，便體現(xiàn)出良好的思維批判性。

三、函數(shù)單調(diào)性與定義域

函數(shù)單調(diào)性是指函數(shù)在給定的定義域區(qū)間上函數(shù)自變量增加時，函數(shù)值隨著增減的情況，所以討論函數(shù)單調(diào)性必須在給定的定義域區(qū)間上進行。如:

例3:指出函數(shù)f(x)=log(x+2x)的單調(diào)區(qū)間。

解:先求定義域:

∵x+2x>0，∴x>0或x<-2，∴函數(shù)定義域為(-∞，-2)∪(0，+∞)。

令u=x+2x，知在x∈(-∞，-2)上時，u為減函數(shù);在x∈(0，+∞)上時，u為增函數(shù)，

又∵f(x)=logu在[0，+∞)是增函數(shù)。

∴函數(shù)f(x)=log(x+2x)在(-∞，-2)上是減函數(shù)，在(0，+∞)上是增函數(shù)。

即函數(shù)f(x)=log(x+2x)的單調(diào)遞增區(qū)間(0，+∞)，單調(diào)遞減區(qū)間是(-∞，-2)。

如果在做題時，學(xué)生沒有在定義域的兩個區(qū)間上分別考慮函數(shù)的單調(diào)性，就說明學(xué)生對函數(shù)單調(diào)性的概念一知半解，沒有理解。在做練習(xí)或作業(yè)時，只是對題型、套公式，而不去領(lǐng)會解題方法的實質(zhì)，也說明學(xué)生的思維缺乏深刻性。

四、函數(shù)奇偶性與定義域

判斷函數(shù)的奇偶性，應(yīng)先考慮該函數(shù)的定義域區(qū)間是否關(guān)于坐標(biāo)原點成中心對稱，如果定義域區(qū)間是關(guān)于坐標(biāo)原點不成中心對稱，則函數(shù)就無奇偶性可談。否則要用奇偶性定義加以判斷。如:

例4:判斷函數(shù)y=x，x∈[-1，3]的奇偶性。

解:∵2∈[-1，3]而-2[-1，3]，

∴定義域區(qū)間[-1，3]關(guān)于坐標(biāo)原點不對稱，

∴函數(shù)y=x，x∈[-1，3]是非奇非偶函數(shù)。

如果學(xué)生像以上這樣的過程解完這道題目，就很好地體現(xiàn)出解題思維的敏捷性。

如果學(xué)生不注意函數(shù)定義域，那么判斷函數(shù)的奇偶性得出如下錯誤結(jié)論:

∵f(-x)=(-x)=-x=-f(x)，

∴函數(shù)y=x，x∈[-1，3]是奇函數(shù)。

錯誤剖析:以上做法是沒有判斷該函數(shù)的定義域區(qū)間是否關(guān)于原點成中心對稱的前提下直接加以判斷所造成，這是學(xué)生極易忽視的步驟，也是造成結(jié)論錯誤的原因。

綜上所述，在求解函數(shù)關(guān)系式、單調(diào)性、奇偶性等問題中，如果我們能精細地檢查思維過程，思辨函數(shù)定義域有無改變(指對定義域為R來說)，對解題結(jié)果有無影響，就能提高學(xué)生質(zhì)疑辨析能力，有利于培養(yǎng)學(xué)生的思維品質(zhì)，從而不斷提高學(xué)生思維能力，有利于培養(yǎng)學(xué)生思維的創(chuàng)造性。

參考文獻:

[1]田萬海.數(shù)學(xué)教育學(xué).浙江教育出版社.

[2]莊亞棟.高中數(shù)學(xué)教與學(xué).中學(xué)數(shù)學(xué)教與學(xué)編輯部出版.

[3]王岳庭.數(shù)學(xué)教師的素質(zhì)與中學(xué)生數(shù)學(xué)素質(zhì)的培養(yǎng)論文集.北京海洋出版社.