韋達定理的巧用

韋達定理，即一元二次方程中根與系數的關系，設x-px+q=0的兩個根為x、x，則x+x=p，x#8226;x=q，是初等代數中的重要內容。在實施創新教育的教學中，教師有目的、有意識地運用此知識，不僅能簡化、優化解題過程，而且對拓寬學生的思路，發展學生的思維，提高學生的解題能力大有裨益。下面我列舉幾例說明其巧用:

1.巧求系數

例1:已知關于x的方程x+2(m-3)x+m+7=0有兩個實數根，且這兩個根的平方和比兩根積大40，求m的值。

分析:應用韋達定理求一元二次方程中待定系數是一種常見的方法，但我們應特別注意一元二次方程是否有根的檢驗，還應注意二次項系數及本身隱含的取值范圍。

解:設x+2(m-3)x+m+7=0的兩根值為x，x，

則x+x=-2(m-3)，xx=m+7，

又(x+x)=x+x+2xx，

∴x+x=(x+x)-2xx。

由題意得:x+x=xx+40，

∴[-2(m-3)]-2(m+7)=m+7+40

4(m-3)-3(m+7)-40=0，

∴m=25，m=-1。

把m=25代入原方程得x+44x+632=0，△<0，

∴方程無實數根，

∴m=25不合題意，舍去。

把m=-1代入原方程得x-8x+8=0，△>0，

∴m=-1。

2.巧解條件

例2:當m為何值時，方程x+(m+1)x+4m-6=0兩根的平方和最小。

分析:若用求根公式x=算出兩根顯然較為繁瑣，若設x，x為此方程二根，則由韋達定理和恒等式:x+x=(x+x)-2xx則能很快求出m的值。

解:設x，x為方程x+(m+1)x+4m-6=0的兩個根，

則x+x=-(m+1)，xx=4m-6，

∴x+x=(x+x)-2xx

=[-(m+1)]-2(4m-6)

=(m+3)+4，

∴當m=-3時，此方程兩根的平方和最小，且最小值為4。

3.巧證等式

例3:若實數x、y、m滿足x=6-y，2m=xy-9，求證:x=y，并求m的值。

分析:由已知條件知:x+y=6，xy=2m+9可構造出一個一元二次方程，進而解題就可挖掘其潛在的內涵。

證明:將已知二式變形為x+y=6，xy=2m+9。

由韋達定理設x、y是方程t-6t+(2m+9)=0的兩個根。

∵x、y是實數，

∴△=36-8m-36≥0，

則-8m≥0。

又∵m為任何實數，8m≤0，

∴m=0，即△=0，

∴方程t-6t+(2m+9)=0有等根，

∴當m=0時，該方程的兩個根x=y。

4.巧解無理方程

例4:解方程+=4。

分析:細心觀察此方程，將會發現，若設=m，=n，則m+n=4，且m+n=10，于是由恒等式m+n=(m+n)-2mn，求出mn=3，再代入所設即可求出原方程的解。

解:設=m，=n，

則m+n=4，

又m+n=10，即(m+n)-2mn=10，

∴mn=3。

由韋達定理可設m，n為方程t-4t+3=0的兩個根，

解得:m=1，n=3或m=3，n=1，

代入所設可得:x=-2，x=6。

經檢驗:x=-2，x=6均為原無理方程的根。

5.巧解集合與不等式

例5:已知關于x的不等式ax+bx+c<0的解集為{x|x<-2或x>1}，則不等式ax-bx+c>0的解集為。

解:由題設條件知:-2與1是方程ax+bx+c=0的兩根，并且由不等式ax+bx+c<0的解在兩根之外，可知a<0。

∴由根與系數的關系知:-2+1=--2×1=，

∴1=-2=，

∴b=a，c=-2a。

∵不等式ax-bx+c>0，

∴ax-ax-2a>0，即a(x-x-2)>0。

又∵a<0，

∴x-x-2<0，

∴-1

故不等式ax-bx+c>0解集為{x|-1

例6:已知集合A={x|<0}，B={x|x+px+q≤0}，若A∪B=R，A∩B={x|1

解:∵A={x|<0}={x|x<-2或x>1}，

又∵A∪B=R，A∩B={x|1

如圖:

∴B={x|-2≤x≤4}。

由不等式與方程之間的對應關系知:x+px+q=0的兩根為x=-2，x=4，

由韋達定理知:x+x=-2+4=-px#8226;x=-2×4=q，解得:p=-2q=-8。

6.巧解解析幾何

分析:我們可以利用韋達定理根據條件建立恰當的方程或不等式來確定參數的值或取值范圍，巧解圓錐曲線與直線相交中的有關問題。

例7:橢圓的中心在原點O，焦點在軸上，離心率為，它與直線x+y-2=0交于A、B兩點，且AO⊥BO，求該橢圓方程。

解:由已知設橢圓方程為+=1，且c=a-b。

∵e==，

∴2c=a，則b=a，

又設直線x+y-2=0與橢圓交于A(x，y)，B(x，y)，

∴+=1x+y-2=0，

∴x+2y=ay=2-x，

∴3x-8x+(8-a)=0，

∴x+x=，x#8226;x=，

∵AO⊥BO，

∴k#8226;k=-1，即#8226;=-1，

∴x#8226;x+y#8226;y=0，

∴y#8226;y=(1)

又∵x+2y=ax=2-y，

∴3y-4y+4-a=0，由韋達定理得y#8226;y=(2)

由(1)、(2)得=，

∴a=6，b=3，

∴所求橢圓方程為+=1。