數(shù)學問題解決教學中的問題情境設計

摘 要： 根據(jù)數(shù)學問題的類型，在總結前人觀點的基礎上，本文作者對“問題”的含義作了一定的解釋。在數(shù)學問題教學中，問題情境的設計在整個教學過程中占有重要地位。好的問題情境，能達到激發(fā)學生好奇心和求知欲，產(chǎn)生認知沖突， 引起探究的目的。

關鍵詞： 數(shù)學問題 “問題解決”教學 問題情境 設計

1980年，美國數(shù)學教師協(xié)會在《關于行動的議程——關于80年代中學數(shù)學的建議》中首次明確指出，“問題解決應該是20世紀80年代學校數(shù)學教育的核心”，“數(shù)學課程應當圍繞問題解決來組織”，“數(shù)學教師應當創(chuàng)造一種使問題解決得以蓬勃發(fā)展的課堂環(huán)境”，“在問題解決方面的成績如何，將是衡量數(shù)學教育成敗的有效標準”。［１］之后，“問題解決”即成為數(shù)學教育領域研究的熱門課題。

20世紀80年代，人們對于問題解決的研究主要集中在以下幾個方面：一是對“數(shù)學問題解決”中“問題”的界定和研究；二是對問題解決過程的研究；三是將問題解決與數(shù)學教育聯(lián)系起來，對怎樣進行“問題解決”教學作了一定的研究。［２］－［３］本文針對“問題解決”教學，就教學過程中的問題情境的設計環(huán)節(jié)作了一定的探討。

1.“問題”的含義

問題是問題解決的起點，有什么樣的問題就有什么樣的問題解決。對于問題解決中問題的理解，歷史上有不同的闡述。《牛頓大詞典》中，“問題”的含義是指那些并非可以立即求解或較困難的問題，是需要探索、思考和討論的問題，需要積極思維活動的問題。著名數(shù)學教育家波利亞在《數(shù)學的發(fā)現(xiàn)》中指出：所謂“問題”意味著去尋找適當?shù)男袆樱赃_到一個可見而不立即可及的目標。依據(jù)不同的分類標準，學者們對數(shù)學問題有如下分類：

根據(jù)數(shù)學教學的要求，波利亞曾把數(shù)學問題作了如下的分類：鼻子底下就有現(xiàn)成的法則、帶有選擇性的應用、組合的選擇和接近研究水平四類問題。“數(shù)學問題解決”中的“問題”則是指接近研究水平的這類問題。

根據(jù)數(shù)學問題的情境特征，我們常將數(shù)學問題分為純數(shù)學問題和數(shù)學應用問題，而純數(shù)學問題又分為常規(guī)問題和非常規(guī)問題兩個子類。在1988年第六屆國際數(shù)學教育大會上，“問題解決，模型化及應用”課題組主席M.Niss把“數(shù)學問題解決”中的“問題”界定為非常規(guī)的數(shù)學問題和數(shù)學應用問題。［４］

根據(jù)數(shù)學問題的性質，將數(shù)學問題可分為練習題、應用型問題、開放型問題和開拓—探究問題。按照這種分類，數(shù)學問題解決中的“問題”是指開放型問題、開拓—探究問題。

綜合以上觀點，筆者對“問題”的含義作如下的解釋：

（1）“數(shù)學問題解決”中的“問題”是指非常規(guī)的數(shù)學問題和數(shù)學應用問題。它并不包括有惟一確定的方法、規(guī)則和原理可遵循，且解題步驟完全確定的常規(guī)數(shù)學問題。

（2）對問題的認識主體——學生而言，問題具有以下特征：可接受性——問題要符合學生的認知水平并能激發(fā)學習興趣；障礙性——學生必須經(jīng)過深入的研究與思考，甚至多次嘗試之后才能獲得解決問題的方法，以及問題的答案；探究性——問題不能用常規(guī)的方法去解決，需要進行各種探究活動。

（3）“數(shù)學問題解決”中的“問題”與習題有本質的區(qū)別。“問題”的內容是非常規(guī)的，既不能模仿教材，又沒有可參考的范例；解題模式多樣，答案也不惟一。它適合于學習發(fā)現(xiàn)和探究的技巧，以及數(shù)學事實的原始發(fā)現(xiàn)，主要是用來培養(yǎng)學生的創(chuàng)造性能力的。而習題通常屬于常規(guī)問題，有典范解法，且模式也比較規(guī)范、固定。它適合于數(shù)學事實的學習和數(shù)學技能、技巧的訓練，主要是用來鞏固所學的知識和訓練技能、技巧的。

2.問題情境設計

數(shù)學問題解決是從一定的數(shù)學問題情境開始，運用已知的知識尋求解決問題的方法和途徑，并達到問題目標的探索過程。即：問題情境→轉換問題→尋求解法→求得結果。所以數(shù)學問題解決教學的第一步是精心設計“問題”情境。

在教學過程中，設計好的“問題”情境，能使枯燥的數(shù)學課堂變得有吸引力，從而提高教學質量和學習效率；能激發(fā)學生的求知欲和學習的心向，使其將要達到目標的愿望轉化為對知識的渴求；能引起學生對問題的思考，誘發(fā)質疑猜想， 喚起強烈的問題意識。在數(shù)學能力方面，好的“問題”情境還可以拓展學生的思維，提高分析問題和解決問題的能力。另外，通過解決具有實際意義的數(shù)學問題，可以樹立學生學習數(shù)學的自信心，增強學習的主動性。［５］

2.1 問題情境設計的要求

問題情境，首先是要有問題，其次才是情境。而“問題”具有可接受性、障礙性和探究性三個特征，所以“問題”情境的設計要遵循一定的要求：

第一，問題情境要緊扣教學內容，針對教材的特點和學生的實際，體現(xiàn)課程標準中的教學目標。

第二，問題情境應建立在學生已有知識的固著點，即學生的“最近發(fā)展區(qū)”上。

第三，問題情境要能啟發(fā)學生尋找能夠識別的解題模式，要有利于學生掌握有關的數(shù)學知識和思想方法。

第四，問題要富有層次感，入手容易，開放性強，解決方案不惟一，給學生思維和創(chuàng)造的空間較大；要具有現(xiàn)實意義，讓學生認識到研究的價值。

第五，問題情境要能引起學生的認知沖突和學習意向，啟迪學生的思維，激發(fā)學生的探究意識。

2.2 問題情境設計的方法

在現(xiàn)實生活中，任何事情都是有一定的方法可循的。所以，在數(shù)學教學中，選擇恰當?shù)姆椒▌?chuàng)設問題情境，對教師的教學和學生的學習都具有事半功倍的效果。

2.2.1 非常規(guī)數(shù)學問題情境設計

2.2.1.1 利用現(xiàn)實生活中的相關事實，設計問題情境。

數(shù)學來源于人們的生產(chǎn)與生活實踐，因此數(shù)學中的概念和原理都是與社會實踐緊密相連的。在教學設計中，利用現(xiàn)實生活中的實際問題引入數(shù)學知識，不僅可以激發(fā)學生的學習興趣和學習動機，使學生進入情緒高昂和智力振奮的內心狀態(tài)，而且可以培養(yǎng)學生從現(xiàn)實生活中提煉數(shù)學和利用數(shù)學知識解決問題的意識，更可以讓學生明白所學數(shù)學知識的應用價值，引導學生用數(shù)學的眼光看世界。

2.2.1.2 從學生的“最近發(fā)展區(qū)”出發(fā)，設計問題情境。

心理學家維果茨基研究指出：“兒童的發(fā)展有兩種水平，現(xiàn)有發(fā)展水平和最近發(fā)展區(qū)的水平。”教學就是要把最近發(fā)展區(qū)的水平轉化為現(xiàn)有發(fā)展水平，促進學生認知結構的發(fā)展。在教學中，教師要對教學內容和學生有比較深入的了解，設計富有挑戰(zhàn)性和探究性的問題情境時，善于由淺入深，鋪設階梯或借助直觀，讓學生進入最近發(fā)展區(qū)；善于打破“最近發(fā)展區(qū)”，讓學生向更高層次發(fā)展。［６］

例如，在學習“平方根”時，設計這樣的問題：面積為9、16、3、a的正方形，它的邊長各是多少？對于前兩個正方形的邊長學生會輕而易舉地答出來，但在求后面兩個正方形的邊長時，卻遇到了困難。這引發(fā)學生的思考，去探究尋求解決問題的方法，從而引入新知識。

2.2.1.3 利用帶有趣味性的問題，設計問題情境。

問題的表述要具有藝術性。對于同一問題，所采用的陳述方式不同，得到的效果也不盡相同。在創(chuàng)設情境時，教師應盡量使得表達新穎，讓學生坐不住，欲解決而后快。以“趣”引“思”，能使學生處于興奮狀態(tài)，誘發(fā)學生主動學習和積極思維，給學生留下深刻的印象。

2.2.2數(shù)學應用問題情境設計

2.2.2.1 利用具有探索性的問題，設計問題情境。

對于一些問題，解決之后并不能代表結束。我們可將其作為進一步探索的跳板，讓問題向深層次發(fā)展，促進學生應變能力的提高，因此安排問題時，應由淺入深，由易到難，由基礎題到靈活性稍大的題目等。

例如，學習“三階幻方”時，即在3×3的正方形小方格中，填進1，2，3，…，9共9個數(shù)字，使得各行各列，以及對角線上的數(shù)字的和均相等。學生通過試探找到答案后，提出以下問題：答案是否惟一？如果換用另外9個數(shù)字，結果會怎樣？經(jīng)過進一步的探討，學生得出這樣的結論：如果是一個關于1，2，3，…，9的三階幻方，那么aS+b也是三階幻方，所以，由此可以產(chǎn)生無窮多個三階幻方。到此任務是否完成了呢？任何一個三階幻方是否都可以表示成aS+b的形式呢？這樣又會激起學生的思考。

2.2.2.2 利用開放性的問題，設計問題情境。

開放性問題的答案不惟一，解法也具有多樣化。利用開放性的問題，設計問題情境，有利于培養(yǎng)學生的創(chuàng)造性思維。而且能力水平不同的學生都能參與，使每一位學生都能體驗到成功的喜悅。

例如，在學習了“一元二次方程”之后，可讓學生解答這樣的問題：在一個長為6m，寬為5m的矩形荒地上，開辟一個花壇，使得花壇的面積是原荒地面積的一半，應該如何設計？這個問題的答案不惟一，學生可以充分發(fā)揮想象力設計出多種圖案。另外，我們變換題目的條件，可以編制出解法類似的新問題。通過解答這個問題，既有利于學生鞏固所學的知識，又有利于培養(yǎng)學生的創(chuàng)造性思維。

數(shù)學問題解決并非可以立即求解或較困難的問題，而是需要探索、思考、討論和積極思維活動的問題。所以，在問題解決教學中，問題情境的設計是至關重要的。這就要求教師深入了解學生的生活經(jīng)驗，結合教材的特點，設計符合學生認知規(guī)律和心理特點的問題情境。這樣能引起學生的認知沖突，調動學生的學習積極性，營造出學生參與的課堂氛圍，從而，有利于提高教學質量和學習效率；有利于培養(yǎng)學生質疑猜想的能力；有利于拓展學生的思維，培養(yǎng)學生的創(chuàng)新精神。

參考文獻：

［1］葉立軍.數(shù)學新課程理念與實施［M］.浙江：浙江大學出版社， 2005：241－251.

［2］顧泠遠，易凌峰，聶必凱.尋找中間地帶［M］.上海：上海教育出版社，2003：242－311.

［3］綦春霞.數(shù)學問題解決在中國的研究歷史及其影響［J］.課程·教材·教法，2007，（12）：32－35.

［4］馬斌.創(chuàng)設問題情境貫徹新課程理念［J］.數(shù)學通報，2007，46，（10）：17-19.

［5］陸書環(huán)，傅海倫.數(shù)學教學論［M］.北京：科學教育出版社，2004：235-244.

［6］張興.維果茨基關于教學與發(fā)展關系的研究［J］.外國教育研究，1998，（6）：11-13.