導數的幾種常見用法

一、利用導數的幾何意義解決有關切線的問題

點評：曲線“過點M”的切線與曲線在“點M處”的切線是不同的，曲線在點M處的切線是指切點在M處的切線，曲線過點M的切線還可能存在切點不在M處的另一條切線，兩者是有區別的。

二、利用導數研究函數的單調性問題

利用導數研究函數的單調性是一種普遍性的方法。不糾纏是什么樣的特殊函數，不用什么技巧。只需直接求導，簡單明了，易操作。

一般來說求可導函數的單調區間的步驟為：①確定函數f（x）的定義域；②求導數f′（x）；③令f′（x）＞0，在定義域內解不等式得f（x）的增區間，令f′（x）＜0，在定義域內解不等式得f（x）的減區間。但是要注意在劃分函數的單調區間時，除了要確定導數為零的點，還要注意定義域內的不可導點。

綜上當且僅當a∈（-∞，2］時，對任意x∈（0，1），恒有f（x）＞1。

點評：此題為2006年全國卷第21題，難度較大，背景公平，設問恰當，適應了不同的考生，較好地考查了考生的思維水平及邏輯推理論證的能力，區分度較好。

三、利用導數求解與函數的極值、最值有關的問題

利用導數求函數的極值與最值需強調：（1）對于可導函數來說，極值點處導數值為0。反之，解f′（x）=0得到f（x）的極值可能點，結合函數f（x）的增減性確定函數f（x）的極值點。（2）由函數極值與區間端點的函數值，確定函數在閉區間上的最值。（3）在解決實際問題時，如果函數在定義域上僅有一個極值點，那么這個極值就是最值。

函數的最大值為13。

點評：此題是解與可導函數有關的極值與最值問題，題目簡單思路清楚。

為了支持新課程的改革，導數的地位在不斷加強，對導數考查的廣度和深度也不斷加重。導數是研究函數的重要工具，特別是借助導數，對于可導函數的單調性進行研究，為求函數的極值與最值提供了一種簡單快捷的方法。因此在組織教學時，教師要充分利用教材，穿插與滲透運用導數解決函數問題的訓練，把它作為研究函數性質的基本方法加以總結和利用，促進知識和方法的系統化。

參考文獻：

［1］鄧軍.導數教學中的幾個關鍵點.中學數學，2008，（6）.

［2］安振平.用導數知識探究數學問題.中學數學教學參考，2007，（12）.

［3］李忠義.導數的概念及應用.試題與研究，2007，（11）.