如何提高學生的數學解題能力

摘要: 解題是使學生牢固掌握數學基礎知識和基本技能的重要手段，是培養能力、發展智力的有效途徑。本文對教師如何提高學生解數學題的能力進行了探討。

關鍵詞: 數學課解題數學解題能力提高

美國著名數學教育家喬治·波利亞(George Polya，1887—1985)指出:“解題是一種實踐性的技能，就像游泳、滑冰或彈鋼琴一樣，只能通過模仿與實踐來學到它。……你想學會游泳，你就必須下水，你想成為解題能手，你就必須去解題。”[1]隨著數學教學改革的深入進行，不少與生產實踐密切聯系的創新數學題頻繁出現，數學課的解題教學將愈來愈占有重要地位。所以數學教師必須掌握解題教學的科學方法，使學生逐步形成運用數學知識來分析和解決實際問題的能力。在解題教學過程中，教師要對學生進行啟發、誘導、點撥、解惑、輔導、示范、嚴格訓練和耐心幫助，使學生善于運用科學方法，具有隨機應變、善于創新的解題方法，善于區分和積累有益的資料，善于對解題進行自我檢查和討論，善于對題目進行開拓、引伸、發散等，從而形成科學思維的習慣，發展創新精神，提高解決實際問題的能力。

1.把握程序，有條不紊

1.1認真審題，養成審題習慣。

審題是發現解法的前提，認真審題，可以為探索解法指明方向。題目是由條件和結論構成的，審題就是弄清題意，審清題目的已知事項和解題的目標，審清題目結構特征，從而判明題型，為選擇解法提供決策的依據。審題是解題的第一步，是正確解題的基礎和前提，可以說“成在審題，敗也在審題”，因此，審題要慢、要細心，而審題匆匆忙忙往往會導致解題失誤和解題受阻而花費更多的時間。所以學生要咬文嚼字抓“題眼”，觀察分析抓“特征”，深刻挖掘其隱含的內在聯系，通過正確而廣泛的聯想，設計正確而簡便的解題方案。審題慢才能換來解題快，才能防止誤入歧途的欲速而不達。

1.2學會探索，掌握思維方向。

審題之后，進入解題的醞釀階段，探索解題途徑，尋找解題方法，擬定解題計劃。怎樣展開解題思路?就思維形式而言，可以概括為“由因導果”和“執果溯因”的兩種不同方向。

1.2.1由因導果。

“由因導果”是將“已知”推演到“未知”的思維方法，稱之為綜合法。它是從問題的條件入手，一般說有三個思維層次:充分利用條件，善于轉化條件，積極創設條件。

1.2.2充分利用條件

在解題過程，只有所給的條件全部用上，才算是充分利用了條件。題目的條件有明有暗，明者就是在題目里明文給定的，暗者是隱含在圖形或數式的性質之中。學生只有把隱含的條件挖掘出來，并且用上，才能做到充分利用。

1.2.1.2要善于轉化條件

解題就是解決矛盾，就是使條件和結論逐漸靠近，以達到“矛盾的統一”。轉化條件對于“矛盾的統一”能起促進的作用。所謂“轉化”，就是掌握“矛盾的統一性”。轉化的具體方法有:等量轉換(例如各種數式的恒等變形)、輔助轉換(例如換元變換)、等價轉換(例如方程或不等式的同解變換)、放縮轉換(例如用放縮法解不等式，用相似變換解幾何問題)、數形轉換(例如代數、三角、幾何題型之間的轉換)、近似轉換(例如有限與無限之間的轉換)等。

1.2.1.3積極創設條件

積極創設與題目相容的條件，可以促使矛盾的轉化。眾所周知，在論證幾何題目時，引入適當的輔助線之后，往往能化難為易，這就是在解題中創造條件的一種表現。在代數里，引入輔助方程、構造輔助函數，都是創設條件的方法。但是，條件不能憑空而創，思路必須有所啟迪，從何啟迪呢?憑何依據呢?從題目已給的條件或求解目標，聯想與之有關的公式、定理或結論，獲得啟迪，尋找依據，從而創設解題中所需要的條件。

例如:已知，α，β是關于的x方程:x²+px+q=0的兩實根，求代數式aα³-bβ+c的值。學生無法直接用韋達定理計算，僅憑題目所給的條件是不能解決問題的，必須創設條件，如設A=aα³-bβ+c，B=aβ³-bα+c，便可用A+B和A-B，再用韋達定理，即可求出。建構主義認為，學習是一種建構，或者說是重新構造的活動，所以數學的教學核心不是由教師向學生灌輸或“販賣”知識，而應該是學生的“再創造”。[2]

1.2.2執果溯因

“執果溯因”是將“未知”歸結為“已知”的思維方法，稱之為“分析法”。它是從問題的結論入手的，也有三個思維層次:回想、聯想和猜想。

1.2.2.1回想

回想是拉開解題思維的序幕。學生根據題目中涉及的主要概念，回想它的定義是怎樣的;根據題目的條件、結論及其結構，回想與它們有關的公式、定理、法則是什么。回想往往是一種演繹推理，即由一般到特殊的推理，把一般的原理、法則、結論套在特殊的情況上。回想的結果，可能會出現直接套用現成的定義、公式、定理或法則來解題。

1.2.2.2聯想

聯想是接通解題思路的橋梁。當我們直接套用現成知識解決不了問題時，就必須進行聯想，在回憶時可以由當前感知的事物回憶起有關的另一事物，或者由所想起的某一事物想起有關的其他事物，這就是聯想。解題時的聯想，就是要求在知識倉庫里找出與題目很接近的或很相似的原理、方法、結論或命題來，變通使用這些知識，看能否解決問題。數學里常用的聯想有:接近聯想、相似聯想、對比聯想、關系聯想、定義聯想、命題聯想、方法聯想、規律聯想等。

1.2.2.3猜想

猜想是點燃創造思維的火花。如果經過聯想，仍然解決不了問題，不妨進行大膽猜想。如果對解決問題的途徑、原則和方法不能馬上找到，可以去選擇一些接近于解決問題的途徑、原則和方法，這就是提出猜想。然后設法論證這個猜想是否真實。

回想、聯想、猜想是密切相關的，回想越充分，聯想就越豐富，猜想也就越合理，解題的思路、方法也就越明確，這需要熟練地掌握數學基礎知識和基本數學方法。如能經常對解題進行歸納總結，就可以為“三想”的成功奠定基礎。

2.開拓引伸，舉一反三

解完題，再回味和引伸，對題目作開拓思考，引伸出新題和新解法，有利于培養發散思維，“數學是思維的體操”，數學思維是人腦和數學對象交互作用，并按照一般思維規律認識數學內容的內在理性活動。[3]學生可以從如下幾方面入手:

2.1把題目條件開拓引伸。

題目的條件在題目中居于主導地位，題目的結論是由條件決定的，如果題目的條件

改變了，那么題目的結論可能隨之變化。改變條件的方法有如下三種:

2.1.1把特殊條件一般化

去掉題目條件的約束性，使特殊條件一般化，從而推得更為普遍性的結論，這叫做數學命題的推廣。

2.1.2把一般條件特殊化

把一般條件加以約束，使它變為特殊條件，從而獲得新的結論，這也是數學命題的推廣。一般條件加以約束之后，使條件強化，隨之解題方法往往不能套用前者，而要另辟蹊徑。條件越約束，題目要求越高，解題難度也越大。

2.1.3特殊條件與一般條件交替變化

題目的條件如果是特殊與一般交替變化，更是千姿百態。

2.2把題目結論開拓引申。

有的題目，在條件不改變的情況下，可以把結論開拓引申，使題目深化。例如，把射影定理的結論加以開拓引申，就得到勾股定理。

3.重視概念，注意積累。

解題能力由多種因素組成，要提高解題能力，提高解題效率，學生必須做好以下幾點。

3.1加強解題的知識因素。

數學知識是解題的基礎，學生要熟練掌握數學基礎知識的體系，深刻理解數學概念，準確掌握數學定理、公式、法則、熟悉基本的常用的邏輯推理方法和數學方法。有了充實、豐富的數學知識，才能為解題奠定堅實的基礎，才有可能提高解題效率。

3.2提高解題的能力因素。

解題能力表現為發現問題、分析問題與解決問題的各方面的本領。其核心是掌握正確的思維方法和正確的思維品質，掌握解題思路和各種解題的策略，因題制宜地選擇對口的解題思路，使用有效的解題方法，調動巧妙的解題技巧，從而提高解題效率。

3.3豐富解題的經驗因素。

實踐出真知，理論總是從實踐中提煉的。方法與技巧也是從經驗中獲得的。“要想快速有效地學習任何東西，你必須看它、聽它和感覺它”。[4]俗話說:“熟能生巧。”學生不斷積累解題經驗，探索解題規律，就可以提高解題能力。不斷總結，學生就會有所發現，有所創造，有所前進。

總之，學生要提高解數學題的能力，就要善于解題，不僅善于解一些標準的題，而且善于解一些要求獨立思考、思路合理、見解獨到和有發明創造的題。解題能力的提高，絕非一朝一夕所能形成，學生要持之以恒，堅持不懈，不受外界條件的干擾，培養解題技巧和科學思維方法。在解題中加深對概念的理解，在熟練基本概念的基礎上做題，這樣才能事半功倍，取得良好的效果。

參考文獻:

[1]趙小云.數學家的策略[M].北京:中國少年兒童出版社，1997.

[2]徐厚生.數學實驗教學的策略探討[J].鎮江高專學報，2007，20，(2):108-109.

[3]張麗娟.注重數學思維訓練培養良好的數學思維方式[J].安徽電子信息職業技術學院學報，2008，7，(6):112-113.

[4][美國]珍妮特·沃斯[新西蘭]戈登·德萊頓.學習的革命[M].上海:上海三聯書店，1998.