一個重要不等式的應用

不等式作為高中數學課程的重要內容之一，其求解、證明已成為高考及數學相關競賽命題的一個基本方向。同時，新課程改革又注重對學生能力培養及檢測。因此，各類不等式考試命題中相應涉及一些重要不等式的應用，如Cauchy不等式、Jensen不等式，等等。下面筆者就Jensen不等式的應用作以下探討。

一、重要不等式及相關概念

1.凸(凹)函數的定義。

設函數f(x)定義在某一區間上，對于這一區間上的任意x，x(x≠x)，如果恒有f()>，則稱函數f(x)在這個區間上是凸函數，如果上式不等號反向恒成立，則稱函數f(x)在這個區間上是凹函數。

2.重要不等式(Jensen不等式)。

如果函數y=f(x)在某區間上是凸函數，則對于該區間上任意x(i=1，2…，n)都有f()≥，如果函數y=f(x)在某區間上是凹函數，不等號反向成立。其中等號成立時，當且僅當x=x=…=x。

二、Jensen不等式的應用

由不等式易知，運用Jensen不等式關鍵在于構造一個適當的凸(凹)函數。

1.直接構造凸(凹)函數，應用Jensen不等式。

例1.設a，b，c均是正數，且a+b+c=1，求證:++≤。

證明:設函數f(x)=，

對于任意的x，x∈(0，+∞)，當x≠x時，有:

f()=>=，

所以函數f(x)=在區間(0，+∞)上是凸函數。

由Jensen不等式可得:

≤=，即++≤。

例2.(此例為例1的推廣形式)設a(i=1，2，…，n)均是正數，且a=A，求證:++…+≤。

證明:因為函數在區間上是凸函數。由Jensen不等式可得:≤=，

即++…+≤。

2.變形構造凸(凹)函數，應用Jensen不等式。

例3.設a，b，c，d均是正數，求證:≥+

證明:原不等式等價于≥1+，

兩邊同時取對數得:

lg(1+)+lg(1+)≥lg(1+)。

令10=，10= ，

則:lg(1+10)+lg(1+10)≥lg(1+10)。

此時，只需證明f(x)=lg(1+10)在定義域上是凸函數即可。

事實上，10+10≥2×10，

所以(lg(1+10)+lg(1+10))≥lg(1+10)

=lg(1+10+10+10)≥lg(1+10+10)=lg(1+10)。

至此f(x)=lg(1+10)在定義域上是凸函數得證，所以原不等式成立。

例4.(此例為例3的推廣形式)設a，b(i=1，2，…，n)均是正數，求證:((a+b)≥(a)+(b)

證明:由于f(x)=lg(1+10)在定義域上是凸函數，

所以lg(1+10)≥lg(1+10)

因為a，b(i=1，2，…，n)均是正數，

令=10，

則有:lg(1+)≥lg(1+())，

即((1+))≥1+()，

兩邊同乘以(a)得:((a+b))≥(a)+(b)。

點評:本文主要以凸函數的構造為例，通過四個例子、兩種構造類型介紹了Jensen不等式的應用。同時，每一種構造類型中兩個例子的選取上，采取從特殊到一般的推廣模式。 其中例1、例3的證明能夠幫助學生理解例2、例4的證明。此外，這種模式又能促使學生積極、主動思索，從而發現、解決問題，激發學生求知欲，并能使學生迅速掌握該不等式及其應用。