關于循環小數化分數的一種方法

摘 要: 本文利用初等數論的知識，給出了如何把循環小數化成分數的一個簡單可行的方法。

關鍵詞: 循環小數 分數 循環節

任何一個分數都能化成小數，不是有限小數，就是無限循環小數。同樣，任何有限小數都能化成分數，任何無限循環小數也能化成一個分數。那么，怎樣將一個無限的循環小數化成分數呢?解決這一問題的方法很多，我們給出循環小數化分數的幾個公式。

任何一個有理數都可以寫成既約分數的形式，即，b>0，(a，b)=1。由帶余除法可知:

a=bq+r，0≤r

即=q+，0≤<1。

因此，我們只須討論0與1之間的循環小數化分數問題即可。

定理:若0.a…ab…是以b，b，…，b為循環的小數，則0.aa…ab…可化為分數的形式。即

0.a…ab…=

其中a，b∈(0，1，2，…，9)，i=1，2，…，n，j=1，2，…，m，且a，b任何一位以后不全為零。

證明:0.a…ab…×10=#8226;b…①

0.a…ab…×10=#8226;b…②

由②-①有:

0.a…ab…(10-10)=-。

∴0.a…ab…=。

推論1:設有循環小數0.b…，其中b∈N，j=1，2，…，m，則它化為分數的形式為=。

推論2:設有循環小數0.，則它化為分數的形式為。

推論1和推論2的證明與定理證明方法相同。

例1.把下列循環小數化成分數:(1)0.; (2)2.0。

解:(1) 0.==。

(2) 2.0先看小數部分0.0:0.0===。

∴2.0=2。

從小數點后面第一位起就開始循環的小數，叫做純循環小數。從例1可以看出，純循環小數的小數部分可以化成分數，該分數的分子是一個循環節表示的數，分母各位上的數都是9，9的個數與循環節的位數相同。

例2.把下列循環小數化成分數。

(1)0.9; (2)0.9; (3)0.353

解:(1)0.9==。

(2)0.9===。

(3)0.353===。

不是從小數點后第一位就循環的小數叫混循環小數。從例2可以看出，混循環小數的小數部分可以化成分數，這個分數的分子是第二個循環節以前的小數部分組成的數與小數部分中不循環部分組成的數的差，分母的前面幾位數是9，末幾位是0，9的個數與循環節中的位數相同，0的個數與不循環部分的位數相同。

綜上，循環小數化分數，分數的分母前面都為9，后面都為0，9的個數等于循環節的位數，0的個數等于小數點后不循環數的位數;分子為第二個循環節前所有數減去小數點后不循環的數。

例3.把下列循環小數化成分數。

(1)0.(2)0.765567 (3)2.543

解:(1)0.=。

(2)0.76556===。

(3)2.543=2+0.543=2+=2+=2。

參考文獻:

[1]張志堅，王寧.中學奧數舉一反三(七年級)[M].延邊大學出版社，2006:1-12.

[2]閔嗣鶴，嚴士鍵.初等數論[M].高等教育出版社，2003:61-64.