運用向量巧解二次曲線問題

摘要:掌握向量和二次曲線的定義及分析它們之間的相互關系及有機結合巧解題型。

關鍵詞:向量 二次曲線 基本工具 數形結合 創造力 靈活性

江西省成人中等專業教育規劃教材數學第一冊第五章是《向量》，第二冊第七章是《二次曲線》。教材中沒有把向量的有關知識滲透到二次曲線中，使《二次曲線》更顯得是獨立門戶的一章。老師在教學過程中有這種感受，學生在學習過程中更是把它看得與其他章節毫無關聯。這不僅扼殺了向量作為中專數學中最基本的工具所應有的地位和作用，同時更束縛了學生的數學思想、數學方法及學習數學的創造力、靈活性。事實上，《向量》與《二次曲線》都體現了數學的基本思想——數形結合思想。從這一點上，它們應該是相互溝通的。再者，向量的應用是不受學科分支制約的。

二次曲線主要有圓、橢圓、雙曲線、拋物線。下面我想通過一些實例，運用向量來解決二次曲線的問題，達到向量與二次曲線的有機結合。

例1:

在同一平面內，動點P(x，y)到兩定點F1(-c，0)F2(c，0)(c>0)的距離的和等于常數2a(a>c>0)，求動點P的軌跡方程。(求焦點在x軸上的橢圓的標準方程)

解:由已知F1P=(X+C，y) F2P=(X-C，y)

∴|F1P|=|F1P |=■

|F2P|=|F2P|=■

∵|F1P|=|F2P|=2a

∴■+■=2a

化簡得(a2-c2)x2+a2y2=a2 (a2-c2) ……(1)

∵a>c>0 ∴a2-c2>0

令b2=a2-c2 (b>0) 代入(1)式得

b2x2+a2y2=a2b2

兩邊同時除以a2b2得■+■= 1 (a>b>0)

即為所求P點的軌跡方程。

例2:

過拋物線y2=2px(p>0)的焦點F的直線與拋物線相交于A、B兩點，自A、B兩點向準線做垂線，垂足分別為A，、B，。

求證:∠A，FB，=90o

證明:顯然F(■，0)設A、B兩點的縱坐標分別為y1，y2。

可得y1y2=-P2

而A，(-■，y1)，B，(-■，y2)

于是 FA，=(-P，y1) FB，=(-P，y2)

故 FA，·FB，=P2+ y1y2=P2-P2=0

∴FA，⊥FB，即FA，⊥FB，

∴∠A，FB，=90o

例3:

已知雙曲線離心率為2，求它的兩條漸近線所成的銳角。

解:不妨設雙曲線方程為■-■= 1 (a>0，b>0)，其焦距為2c.

∴c2=a2+b2，c=2a 由雙曲線的幾何性質，設直線y=b與直線x=a，x=-a分別交于M、N兩點，則M(a，b)N(-a，b)

∴OM=(a，b) ON=(-a，b)

|OM|= ■，

|ON|=■

OM·ON=-a2+b2 ，設OM，ON的夾角為θ

則cosθ=■=■=■=1-2(■)2=1-2×(■)2=■

∵0<θ<■

∴θ=■ 即為所求的兩漸近線所成的銳角。

(若上述方法求得■<θ

例4:

已知兩點M(-1，0)，N(1，0)且點P使MP·MN、PM·PN、NM·NP成公差小于零的等差數列。

(1)點P的軌跡是什么曲線?

(2)若點P的坐標為(X0、Y0)，設θ是PM與PN的夾角，求tanθ?

解:(1)

設P(X，Y)則PM=(-1-X，-Y)PN=(1-X，-Y)MN=(2，0)

∴MP·MN=2(1+X)，PM·PN=X2+Y2-1， NM·NP=2(1-X)

由題意得

即

>

所以P的軌跡是以原點為圓心，為半徑的右半圓。

解:(2)

點P的坐標為(X0，Y0)，而PM·PN= X02+ Y02-1=2

又|PM||PN|=■×

■=2■

∴cosθ=■= ■

∵0

∴■

∴0≤θ<■

于是有sinθ= ■

故tanθ=■=|Y0|

例5:

離心率等于黃金比■的橢圓稱為“優美橢圓”，設■+■=1(a>b>0)是優美橢圓，F、A分別是它的左焦點和右頂點，B是它的短軸的一個端點，則∠ABF=___。

解:易得F(-C，0)A(a，0)設B(0，b)

則BA=(a，-b) FB=(c，b)故BA·FB=ac-b2=ac-a2+c2

=1/a2(e2+e-1)=1/a2[(■)2+■-1]=0

∴BA⊥FB故BA⊥FB

∴∠ABF=900

例6:

在橢圓■+■=1上求一點，使它與兩個焦點連線互相垂直。

解:兩焦點為F1(-5，0)F2(5，0)

設所求點P為(X0，Y0)

則■+■=1即 20X02+45Y02=900 ……(1)

而F1P=(X0+5，Y0) F2P=(X0-5，Y0)

由題意F1P⊥F2P

令F1P·F2P=X02-25+Y02=0 ……(2)

聯立(1)(2)解方程組得X0=3 Y0=4

所以與兩個焦點連線互相垂直的點共有四個，坐標分別為

(3，4)(3，-4)(-3，4)(-3，-4)

由以上幾例不難看出:不論是關于二次曲線中的圓、橢圓、雙曲線，還是拋物線，都可用向量來探尋解題思路，能有效地回避錯綜復雜的位置關系的演化，其優越性是明顯的。因而在《二次曲線》的教學中不斷滲入《向量》來巧解問題，發揮了向量的功效，也使二次曲線不再孤立無援，不再紛繁復雜。

(作者單位:江西省交通職工中等專業學校)