猜想.證明.歸納.拓展.應用

〔關鍵詞〕 中學數學;開放題;猜想;證明;歸納;拓展;

應用

〔中圖分類號〕 G633.6〔文獻標識碼〕 A

〔文章編號〕 1004—0463(2010)01(B)—0056—01

義務教育實驗教材北師大版九年級上冊數學101頁有一道開放性問題:

依次連接任意四邊形各邊的中點可以得到一個平行四邊形.那么，依次連接正方形各邊的中點能得到一個怎樣的圖形呢?先猜一猜，再證明.

議一議:(1)依次連接菱形或矩形四邊的中點能得到一個什么圖形?(2)依次連接平行四邊形四邊的中點呢?依次連接四邊形各邊中點所得到的新四邊形的形狀與哪些線段有關系?有怎樣的關系?

課堂上通過師生的互動交流，先對第一個問題展開了討論.

猜想:依次連接正方形各邊的中點所得到的四邊形是正方形.

證明:如圖1，∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=BC=CD=DA.

又∵E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點，

∴ AE=EB=BF=FC=CG=GD=DH=HA，

∴△HAE≌△EBF≌△FCG≌△GDH，

∴HE=EF=FG=GH.

∵∠A=∠B =90°， ∴ ∠AEH=∠BEF=45°.

∴∠HEF=90° ，∴四邊形EFGH是正方形.

歸納:應用類比的方法可知:依次連接四邊形各邊中點所得到的新四邊形的形狀由原四邊形的兩條對角線決定.當原四邊形的兩條對角線相等時，所得到的新四邊形是菱形，當原四邊形的兩條對角線互相垂直時，所得到的新四邊形是矩形.

拓展:依次連接四邊形各邊中點所得到的新四邊形的周長等于原四邊形兩條對角線長的和，所得到的新四邊形的面積等于原四邊形面積的一半.

應用:例1如圖2，在四邊形ABCD中，E為AB上一點，△ADE、△BCE均為等邊三角形，P、Q、M、N分別為AB、BC、CD、DA的中點，

求證:四邊形PQMN為菱形.

證明:連接AC、BD，

∵△ADE、△BCE為等邊三角形，

∴AE=DE，CE=BE，∠AED=∠BEC=60°，

∴∠AED+∠DEC=∠BEC+∠DEC，

即∠AEC=∠BED，

∴△AEC≌△DEB， ∴ AC=BD.

∵P、Q、M、N分別為AB、BC、CD、DA邊的中點，

∴ 四邊形PQMN為菱形.

例2如圖3，在四邊形ABCD中，AC=6，BD=8，且AC⊥BD，順次連接四邊形ABCD各邊的中點，得到四邊形A1B1C1D1，再順次連接四邊形A1B1C1D1各邊的中點，得到四邊形A2B2C2D2……如此進行下去，得到四邊形AnBnCnDn，試求四邊形AnBnCnDn的面積和周長.

解:設四邊形AnBnCnDn的面積為Sn ，周長為Ln .

由引申結論可知，S1=■S四邊形ABCD=24×■=12，S2=■S1=24×(■)2=6，S3=■S2=24×(■)3=3 ……Sn=24×(■)n，

由上面歸納結論可知:四邊形A1B1C1D1是矩形，四邊形A2B2C2D2是菱形，四邊形A3B3C3D3是矩形，四邊形A4B4C4D4是菱形……當n為奇數時，四邊形AnBnCnDn是矩形;當n為偶數時，四邊形AnBnCnDn是菱形.

∵ AC=6，BD=8， ∴ A1B1=■AC=3，A1D1=■BD=4.

根據勾股定理得:A1C1=B1D1=5.

則L1=AC+BD=14，L2=A1C1+B1D1=10.

依次計算:

L3=14×■，L4=10×■;

L5=14×(■)2 ， L6=10×(■)2;

…………

L2n-1=14×(■)n-1 ， L2n=10×(■)n-1 (n≥1).