〔關鍵詞〕 數學習題;解題;方法
〔中圖分類號〕 G633.6〔文獻標識碼〕 A
〔文章編號〕 1004—0463(2010)01(B)—0055—01
題目:α為三角形內角,若sinα+cosα=-■,則tgα的值是()
A.-■ B.-■ C. ■D.■
解法一
分析:應用平方關系消元后,化條件式中的函數為同名函數,轉化為一元二次方程求解.
由已知條件可知α為鈍角,則sinα=■,代入sinα+cosα=-■,得■+cosα=-■,即 25cos2α+5cosα-12=0,解得 cosα=■(舍去),cosα=-■,于是sinα=■,則tgα=-■.
說明:此解法復習了同角三角函數的基本關系,過程雖復雜,但思路清晰,屬學生最容易在直覺中產生的解法.但必須注意的是方程轉化過程中需要兩邊平方,這可能產生增根,必須驗根.
解法二
由sinα+cosα=-■ , 兩邊平方得 sin2α=-■,∴ 1-sin2α=■, ∴ sinα-cosα=■, sinα-cosα=-■(舍),sinα-cosα=■與sinα+cosα=-■聯立解得 sinα=■,cosα=-■,∴ tgα=-■.
說明:sinα±cosα=a(|a|≤1)的常用變形方式之一是兩邊平方(見解法二、三、六),然后可求得sinα±cosα的值(解法二)或sin2α的值(見解法三、六),再進一步求解.
解法三
分析:同上,求出sin2α的值后用萬能公式求解.
sin2α=-■=■,解得 tgα=-■,tgα=-■.當tgα=-■時,sinα=■,cosα=-■,此時sinα+cosα=■,與條件矛盾, ∴ tgα=-■.
解法四
分析:由萬能公式化已知條件中的函數為同名函數,由此求得tg■,再求tgα.
同解法一,根據已知條件可知 α∈(■,π),
令tg■=t ,由已知條件得■+■=-■,即2t2-5t-3=0,解得 t1=3, t2=-■.(∵■是銳角,∴t2=-■舍去)∴ tgα=■=■=-■.
解法五
同解法一,根據已知條件得α∈(■,π),sinα+cosα=-■可變為■+■=-■,即 12tg2α+25tgα+12=0,解得 tgα=-■或-■.經檢驗 tgα=-■.
說明:公式sin2α=■, cos2α=■是同名三角函數基本關系的變形式,同樣很重要,必須熟記.
解法六
由解法二,可得 sin2α=-■,于是cos2α=±■.
(顯然由π< 2α< 2π 尚不能確定cos2α的具體符號,以下尋找更強的定號條件)
由sinα+cosα=■sin(α+■)=-■<0 有α +■>π, ∴ α>■, ∴■π <2α<2π, ∴ cos2α=-■,∴ tgα=■=-■.
說明:1.此解法中必須尋找更強的定號條件來確定cos2α的具體符號,這在課本內外的許多題目中都會遇到.2.sinα±cosα的常見變形方法之一是用公式asinα+bcosα=■sin(α+φ)變為sinα±cosα=■sin(α±■).
解法七
由解法六可知■<α<π, ∵ y=tgα在(■,π)上遞增,∴ tg■ 對照四個選項知,答案為B.