一道習題的多種解法

〔關鍵詞〕 數學習題;解題;方法

〔中圖分類號〕 G633.6〔文獻標識碼〕 A

〔文章編號〕 1004—0463(2010)01(B)—0055—01

題目:α為三角形內角，若sinα+cosα=-■，則tgα的值是()

A.-■ B.-■ C. ■D.■

解法一

分析:應用平方關系消元后，化條件式中的函數為同名函數，轉化為一元二次方程求解.

由已知條件可知α為鈍角，則sinα=■，代入sinα+cosα=-■，得■+cosα=-■，即 25cos2α+5cosα-12=0，解得 cosα=■(舍去)，cosα=-■，于是sinα=■，則tgα=-■.

說明:此解法復習了同角三角函數的基本關系，過程雖復雜，但思路清晰，屬學生最容易在直覺中產生的解法.但必須注意的是方程轉化過程中需要兩邊平方，這可能產生增根，必須驗根.

解法二

由sinα+cosα=-■ ， 兩邊平方得 sin2α=-■，∴ 1-sin2α=■， ∴ sinα-cosα=■， sinα-cosα=-■(舍)，sinα-cosα=■與sinα+cosα=-■聯立解得 sinα=■，cosα=-■，∴ tgα=-■.

說明:sinα±cosα=a(|a|≤1)的常用變形方式之一是兩邊平方(見解法二、三、六)，然后可求得sinα±cosα的值(解法二)或sin2α的值(見解法三、六)，再進一步求解.

解法三

分析:同上，求出sin2α的值后用萬能公式求解.

sin2α=-■=■，解得 tgα=-■，tgα=-■.當tgα=-■時，sinα=■，cosα=-■，此時sinα+cosα=■，與條件矛盾， ∴ tgα=-■.

解法四

分析:由萬能公式化已知條件中的函數為同名函數，由此求得tg■，再求tgα.

同解法一，根據已知條件可知 α∈(■，π)，

令tg■=t ，由已知條件得■+■=-■，即2t2-5t-3=0，解得 t1=3， t2=-■.(∵■是銳角，∴t2=-■舍去)∴ tgα=■=■=-■.

解法五

同解法一，根據已知條件得α∈(■，π)，sinα+cosα=-■可變為■+■=-■，即 12tg2α+25tgα+12=0，解得 tgα=-■或-■.經檢驗 tgα=-■.

說明:公式sin2α=■， cos2α=■是同名三角函數基本關系的變形式，同樣很重要，必須熟記.

解法六

由解法二，可得 sin2α=-■，于是cos2α=±■.

(顯然由π< 2α< 2π 尚不能確定cos2α的具體符號，以下尋找更強的定號條件)

由sinα+cosα=■sin(α+■)=-■<0 有α +■>π， ∴ α>■， ∴■π <2α<2π， ∴ cos2α=-■，∴ tgα=■=-■.

說明:1.此解法中必須尋找更強的定號條件來確定cos2α的具體符號，這在課本內外的許多題目中都會遇到.2.sinα±cosα的常見變形方法之一是用公式asinα+bcosα=■sin(α+φ)變為sinα±cosα=■sin(α±■).

解法七

由解法六可知■<α<π， ∵ y=tgα在(■，π)上遞增，∴ tg■

對照四個選項知，答案為B.