Copula方法對多變量股指期權定價的研究

摘 要:本文給出了完全市場條件下基于Bernstein Copula的多變量歐式期權的風險中性價格。然后將GARCH處理后的滬深兩市股指作為數據代入模型進行估計，并采用蒙特卡羅模擬方法對滬深兩市股指期權進行實證研究。

關鍵詞:多變量期權;Bernstein Copula;相關結構;蒙特卡羅模擬

中圖分類號:F830.9 文獻標識碼:A 文章編號:1003-5192(2010)06-0076-05

1 引言

當今金融市場上，多變量期權是對多元資產風險進行對沖的一種有效地工具，這些期權的價格和兩個或者多個標的資產有關。例如，基于若干標的股票的投資組合的組合期權(Basket Option)、比率期權和最大(小)期權以及基于一籃子外匯價格的浮動匯率的期權等等。

在Black-Scholes的多維幾何布朗運動的框架下[1]，Margrabe，Stulz，Johnson和Reiner等給出了基于相關系數的多變量期權的定價方法[2，3]。但是，Embrechts等人指出，除非這些資產的價格(收益)能夠很好地服從多維正態分布，否則相關系數不能準確地描述多個資產間的相關結構。因而Copula在多變量期權的定價領域也有廣泛的應用[4]。例如，Rosenberg在定價中采用Plackett Copula模型進行估計[5]，Cherubini和Luciano在Rosenberg的基礎上上對使用Copula類型進行了拓展[6]，而Rosenberg則在定價中引入半參數估計的Copula模型[7]。而在更一般的情況下，Cherubini等人給出了通過概率密度途徑對多變量期權進行定價的一般表達式[8]。但是該表達式只適于混合導數的形式比較簡單的情形(例如乘積Copula等)。因此，除了使用Monte Carlo(MC)模擬外，目前的大部分定價都是在Black-Scholes理論框架內，假定滿足某種特定的Copula函數的條件下給出的[9~11]。

然而，Li等人指出Bernstein多項式Copula具有對微分運算封閉，并且能夠較好地逼近各種光滑的Copula等性質[12]。因此我們考慮在Bernstein Copula多參數模型的基礎上，給出完全市場條件下多變量期權的風險中性定價的一般表達。然后將滬深股指通過GARCH處理后作為經驗數據代入模型，得到Bernstein Copula的參數估計，并將模擬的股指期權的價格與基于Gauss型市場相關結構下股指期權的價格的Monte Carlo模擬進行比較。

2 Bernstein多項式和Bernstein Copula

3 基于Bernstein Copula的多變量期權的定價

從表2中的模擬結果我們可以看到，在給定參數值的情況下，Bernstein Copula模型定價和Gauss假設條件下的定價差異不大。其差異體現了兩種模型對滬深兩市股指的相關結構的擬合的差距，從擬合結果來看，BernsteinCopula具有更好的擬合優度，因此依據該模型進行的Monte Carlo模擬結果更為準確。

5 結論

本文中我們考慮基于多個標底資產相關結構的多變量歐式期權，該期權的價格和連接函數Copula的選擇密切相關。由于Bernstein Copula能夠較好地逼近任何類型的Copula，從而可以描述絕大部分多個資產間的相關結構，并且其使用和表述比較方便。因而我們基于Bernstein Copula給出了完全市場條件下歐式期權的風險中性定價的一般表達式。然后將滬深兩市股指的數據代入模型對其相關結構進行擬合，最后在擬合結果的基礎上，采用Monte Carlo模擬方法將該模型的定價和基于Gauss型正態假設條件下的價格比較，從結果來看基于滬深兩市的股指期權的模擬兩者相差不太大，但是由于Bernstein Copula的擬合結果更好，因此其模型定價也更為準確。此外該方法可以很好地推廣到變量更多(如人民幣匯率期權)，形式更復雜(如美氏期權)的期權定價中去。

本文的實證研究結果對投資機構在做資產組合管理或者風險管理時有著很強的參考價值。例如對于一籃子標的的多期權產品，割裂的看待會導致風險度量的失真，應當考慮各期權的聯動性，獲得更真實的風險度量以進行風險管理和對沖。推廣到更一般的資產組合管理，Copula方法在對組合的風險度量上都有著積極的借鑒意義，值得推廣。

參 考 文 獻:

[1]Black F， Scholes M S. The pricing of options and corporate liabilities[J]. Journal of Political Economy， 1973， 81: 637-654.

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[3]Stulz R M. Options on the minimum or the maximum of two risky assets: analysis and applications[J]. Journal of Financial Economics， 1982， 10: 161-185.

[4]Embrechts P， McNeil A J， Straumann D. Correlation and dependence in risk management: properties and pitfalls. In Dempster M A H， ed. Risk Management: Value at Risk and Beyond[M]. Cambridge University Press， 2002. 176-223.

[5]Rosenberg J V. Semiparametric pricing of multivariate contingent claims[M]. Working Paper S-99-35， Stern School of Business， New York University， New York， 1999.

[6]Cherubini U， Luciano E. Bivariate option pricing with copulas[J]. Applied Mathematical Finance， 2002， 9: 69-86.

[7]Rosenberg J V. Nonparametric pricing of multivariate contingent

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[8]Cherubini U， Luciano E， Vecchiato W. Copula method in finance[M]. John Wiley Sons Ltd.， 2004. 231-280.

[9]Bollerslev T. Generalized autoregressive conditional

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[10]Reiner E. Quanto mechanics， from black-scholes to black holes[M]. New Frontiers in Options， RISK Books， London， 1992. 147-154.

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[12]Li X， Mikusinski P， Sherwood H， et al.. On approximation of copulas. In Dall’Aglio G， Kotz S， Salinetti G， eds. Distributions with Given Marginals and Moment Problems[M]. Kluwer Academic Publishers， Dordrecht， 1997.