閾值協整參數的完全修正最小二乘估計的小樣本性質

摘 要:本文應用FM-OLS來估計閾值協整參數，并利用Monte-Carlo模擬詳細研究了其小樣本性質，結果表明FM-OLS法能修正OLS估計的小樣本偏差，且數據過程的持久性(均值回復速度)、隨機干擾項與解釋變量的相關程度以及樣本容量是影響FM-OLS小樣本性質的主要因素。模擬結果還表明不論是閾值協整還是線性協整，FM-OLS都比OLS估計具有明顯優勢，因此在宏觀經濟協整分析中，利用FM-OLS法能獲得較準確的參數估計，同時還可以利用標準分布對協整參數進行Wald檢驗。

關鍵詞:閾值協整;完全修正的OLS;偏差和標準差;MC模擬

中圖分類號:F224.0 文獻標識碼:A 文章編號:1003-5192(2010)06-0071-05

Small Sample Properties of Fully Modified OLS Estimation of

the Parameters in Threshold CointegrationLIU Han-zhong

(College of Economics and Commerce， Hunan University of Commerce， Changsha 410205， China)

Abstract:The paper examines small sample properties of parameters estimation with fully modified OLS (FM-OLS) method in threshold cointegration through performing a set of Monte-Carlo simulations， and the resulting evidence shows that FM-OLS method can modify small sample bias resulted from OLS， and some factors exert an influence on properties of FM-OLS method including persistence of the data process， the correlation between stochastic error and explanatory variables as well as sample size. As addition， regardless of threshold cointegration or linear cointegration， FM-OLS gains an obvious advantage over OLS. Therefore， when performed in the cointegration analysis， FM-OLS can obtain an exact estimator about cointegration parameter， and the wald statistics constructed through FM-OLS method have standard limiting distributions.

Key words:threshold cointegration; fully modified OLS; bias and standard error; Monte-Carlo simulation

1 引言

在時間序列分析中，協整(Cointegration)無疑是最常用的分析工具之一，協整參數向量的估計與檢驗當然成為了方法論發展的重中之重。幸運的是，Engle和Granger已經證明當樣本容量趨于無窮大時，協整向量的OLS估計量具有超一致性(Super-consistent)，即OLS估計量以T-1階收斂于真實的參數，而在平穩序列的回歸中，未知參數的OLS估計量以T-1/2階收斂于真實參數，所以在協整回歸中，協整參數的OLS估計量具有超一致性，因此在樣本容量足夠大時，利用OLS估計協整參數是目前的主要方法之一。另外一種估計協整參數方法是由Johansen提出的極大似然估計(MLE)，且在大樣本條件下，MLE估計量具有超一致性和漸近正態性等優良性質，但是MLE法存在以下缺陷:(1)假定數據過程的真實分布是正態分布，而在實際經濟分析中不一定成立;(2)當存在多個協整向量時，往往無法說明到底哪個才能代表真實的長期均衡關系?許多研究人員采用最大特征值所對應的協整向量作為真實的長期均衡關系，但依據是什么?至今沒有明確的答案。對于OLS和MLE估計的比較，Gonzalo[1]利用Monte-Carlo方法對估計的小樣本性質進行了研究，研究表明:(1)當只有一個協整向量時，在樣本T=100時，OLS與MLE相當;(2)在樣本容量較大(T=300)時，MLE法要優于OLS法，且具有較小的均方誤差(Mean-Square Error)，也就是說在樣本較大時，MLE比OLS估計量更加有效;(3)非正態性設定對MLE估計的影響較小，即在數據服從非正態分布時，MLE也具有良好的特性;(4)滯后階數的選擇對MLE估計的影響較為敏感，且Gonzalo發現:較長滯后階的選擇對MLE估計的有效性影響較小，而較短(相對于真實滯后階數而言)的滯后階選擇對有效性影響較大，所以在應用Johansen方法時盡量采用較大的滯后階，這樣得到的協整參數估計和檢驗會更加準確。在本文中，筆者認為Johansen的MLE方法雖然在大樣本下要優于OLS估計，但是從以上研究來看，該法所要求的樣本容量較大，而在實際的經濟分析尤其是宏觀經濟中，樣本容量往往較小，一般都小于100，所以對OLS法的改進研究顯得尤其重要。鑒于此，本文將進一步研究完全修正的OLS(Fully Modified OLS，簡記為FM-OLS)估計法，目的在于揭示在閾值協整參數估計中，FM-OLS估計的小樣本性質。

眾所周知，OLS估計量具有超一致性，但是Phillips[2]和王少平[3]研究表明OLS在小樣本下具有偏差，FM-OLS[4]估計正是為了解決OLS法的小樣本偏差而提出來的。Phillips認為OLS估計是基于靜態的協整回歸方程對協整參數進行估計，由于這種靜態的回歸方程設定忽略了模型的動態結構，使得協整回歸方程中的隨機干擾項呈現出自相關性，正因為這種自相關性導致了OLS估計量的小樣本偏差。同時，我們也知道在平穩序列的回歸中，如果解釋變量與隨機干擾項不相關，即解釋變量滿足嚴格外生性(StrictExogeneity)時，OLS估計量是一致估計量;如果解釋變量不滿足嚴格外生性，則OLS估計不是一致估計量。而在非平穩序列的協整回歸中，即使解釋變量與隨機干擾項相關，則協整參數的OLS估計仍然滿足一致性[4，5]，這說明只要樣本容量足夠大，不論解釋變量與隨機干擾項是否相關，OLS估計量是協整參數的一致估計量。另外對于利用工具變量(Instrument Variable，IV)來解決變量的內生性(Endogeneity)問題，Phillips和Hansen[4]對其進行了深入研究，結果表明工具變量法可以獲得參數的一致估計量，且不論工具變量是否與回歸解釋變量相關，也就是說，在協整回歸中選取的工具變量可以獨立于解釋變量，這時的OLS估計仍然是一致估計量，這一點與平穩序列的回歸是不同的，在平穩序列的回歸中，工具變量必須與解釋變量高度相關。

提出FM-OLS估計法的另一個原因在于:當協整回歸中的解釋變量與隨機干擾項相關時，OLS估計量的漸近分布不再是正態分布，因此對協整向量的約束性檢驗的Wald統計量不再漸近地服從于χ2分布[6]，這無疑妨礙了Wald檢驗的應用。因此，FM-OLS估計法通過消除解釋變量與隨機干擾項之間的相關性，從而獲得協整參數估計量的一致估計量和FM-OLS估計量的漸近正態性分布，這樣可以利用傳統的Wald統計量來對協整參數進行

檢驗。

本文將重點研究FM-OLS估計在閾值協整參數估計中的小樣本性質。閾值協整[7]最初由Balke和Fomby[8]提出，這是對Granger提出的用來描述經濟變量之間長期關系的協整概念的又一至關重要的發展。眾所周知，經典意義上的協整刻畫了經濟變量之間的長期線性均衡關系，且協整方程的隨機干擾項服從平穩的線性自回歸模型。而閾值協整回歸方程中的隨機干擾項服從平穩的閾值自回歸模型(Threshold Autoregression，簡記為TAR)，更確切地說，閾值協整描述了協整系統回復長期均衡的速率會隨著誤差項的不同而不同。例如，同一商品價格在不同國家之間存在閾值協整關系，即當兩價格差沒有超過交易成本時，此時兩價格不會趨同，即協整系統不回復到長期均衡;如果當價格差大于交易成本時，兩價格會回復到長期的均衡水平，這說明閾值協整在交易成本、固定調節成本計量經濟分析中具有十分重要的應用價值。同時，在閾值協整中，隨機干擾項雖然是平穩的，但往往存在自相關性，OLS估計法具有小樣本偏差;另外在閾值協整中，當解釋變量與隨機干擾項相關時，利用FM-OLS估計量構造的Wald統計量仍然漸近地服從于χ2分布，因此在閾值協整中研究FM-OLS估計的小樣本性質具有十分重要的理論和現實意義。

2 閾值協整(Threshold Cointegration)概述

從核密度估計圖(略):無論是線性協整還是閾值協整，OLS法估計的協整參數具有偏差(左偏)，且左尾要比右尾厚，因此標準差也較大，而FM-OLS估計法不僅能修正這種偏差，而且標準差也能減少，這說明在小樣本(T=50)的協整參數估計中，FM-OLS比OLS具有明顯優勢。

5 結論

閾值協整在交易成本和固定調節成本等宏觀經濟分析中具有特殊地位，由于宏觀經濟數據序列往往較短，因此在小樣本中研究閾值協整參數的估計顯得尤其重要。本文較詳細地討論了FM-OLS在閾值協整參數估計中的性質，研究表明:(1)無論是線性協整還是閾值協整，FM-OLS估計都能修正OLS估計的小樣本偏差，因此在樣本容量較小時，應該采用FM-OLS法來估計有關參數;(2)影響FM-OLS估計量偏差與標準差的因素包括:數據過程的持久性(Persistence)、隨機干擾項與解釋變量之間的相關程度以及樣本容量，且當持久性和相關性越強時，FM-OLS估計量的偏差與標準差就越大;(3)如果要對閾值協整參數進行檢驗時，通過FM-OLS估計量構造的Wald統計量的極限分布仍然服從標準的χ2分布，避免了由于冗余參數(Nuisance Parameter)對檢驗統計量極限分布的影響。綜上所述，在宏觀經濟協整分析中，數據往往較短，因此應該運用FM-OLS法來估計協整參數，這樣一方面可以修正OLS的小樣本偏差，獲得更加準確的參數估計;另一方面又避免了變量的內生性對估計所帶來的影響，同時也可以避免參數約束性檢驗Wald統計量的非標準極限分布，這尤其在閾值協整分析中具有十分重要的理論與現實意義。

參 考 文 獻:

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