案例教學在高等數學課程中的作用

摘 要: 高等數學是一門抽象的學科，教師在教學中有效地利用案例，不僅可以激發學生的興趣，培養學生解決問題的能力，而且能培養他們的數學思維，提高他們的數學素養。

關鍵詞: 高等數學 案例教學 作用

如果將整個數學比作一棵大樹，那么初等數學是樹根，名目繁多的數學分支是樹枝，而樹干的主要部分就是微積分。這體現出了微積分的重要性，以及它和各科之間的關系。學生一進大學就會接觸到高等數學，這種課程設置當然有其道理:為了與他們在高年級將學的一些課程的銜接等。但是，學生因為在入學前對大學所學的難度都突然加深了的各門課程還處于陌生與被動狀態，尤其是當接觸到較初等數學更為抽象的高等數學，還欠缺更高層次的抽象思維能力，加上高中時候的學習方法已不再能對付大學課程，所以一開始學的時候就有吃力的感覺，接受新知也較為被動。我結合自己的教學經歷，談談案例教學在高等數學課程中的作用。

一、在高等數學中恰當地講授數學史

數學科學作為一種文化，不僅是整個人類文化的重要組成部分，而且始終是推進人類文化的重要力量。著名的哲學家A.Whitehead在批評以往思想史家們忽視數學的地位時，曾打了一個比喻來說明數學是人類思想史的要素之一。他說:“假如有人說:編著一部思想史而不深刻研究每一個時代的數學概念，就等于是在《哈姆雷特》這一劇本中去掉了哈姆雷特這一角色，這一說法也許太過分了，我不愿說得這樣過火。但這樣做卻肯定地等于是把奧菲莉這一角色去掉了。奧菲莉對整個劇情來說，是非常重要的。”

在教師教學里，引進與主題相關的數學史題材，對學生的學習會有很正面的意義，不僅能調動學生的學習熱情，而且能協助學生將抽象觀念具體化。因為不論在科技應用層面或思想突破方面，數學重要概念的演進確有其實用面的意義，因此具有啟發性的數學史方面的教學實屬必要。在高等數學的教材中我們會接觸到一些根本重要性的定理和概念。如牛頓—萊布尼茲定理、拉格朗日中值定理、傅立葉三角級數等。這些定理和概念的學習不僅對于學習高等數學知識來說是重要的，而且對于提高數學素質也是極其必要的。它們是微積分的精華，是高等數學教學的必講內容。這些定理和概念大都是以重要數學人物的名字命名的，他們也恰恰是微積分的創立者和先驅。這就提醒我們在課堂教學過程中適當地加入先驅們的生平和業績的介紹，讓學生可看到數學的發展是曲折的，一個重要概念的產生是離不開實際問題的，只要對實際問題進行精力的思索，就可以找出問題的本質，抽象出數學思想。并且從先驅們的言行里學生能感受到科學家的治學態度和對知識的執著追求，這往往能激發他們刻苦鉆研、勇往直前的奮斗精神。教師不僅能在有限的時間里完成教學任務，而且可以起到提升學生的學習興趣，傳遞數學思想的作用，對課堂教學起到了畫龍點睛的作用。

二、通過實際例子來激發學生的興趣

真正有意義的數學，是由直觀想象與演繹推理相結合而創造出來的。高等數學有著完整的系統性和邏輯性，它始終遵循著源于個體，拓展個體，最終又回到個體，解釋個體的認識原則，比如我們所熟知的導數和定積分的概念。所以高等數學概念的形成也總是源于實際，高于實際，而又立足于實際。我們通過一些實際的例子，不僅可以激發學生學習的興趣，而且可以拓展學生的視野，可謂一舉兩得。

美伊戰爭給人們帶來太多的震撼。從2003年3月20日正式爆發，到4月11日美軍攻占巴格達。進攻者以區區十萬余人的軍隊，在二十幾天的時間里，幾乎沒經過像樣的戰斗就完全征服了一個世界中等軍事強國。不少人覺得美伊戰爭不像一場戰爭，而更像一場游戲。

而事實上并不奇怪，美軍打的是一場由數學支撐的信息化戰爭。湯姆遜說:信息不僅僅是一件武器，它還是一種能夠改變戰爭文化和定勢的新技術。它能改變一切。它所帶來的變化比我們看到的任何一種變化都來得強烈，比坦克、潛艇甚至原子彈都要厲害。在今天的戰場上，誰擁有絕對的信息掌控權，誰就能獲得勝利。美軍在美伊戰爭中通過數據鏈把天空地海、本土統帥部、前方司令部和戰場上每一個士兵連為一體，反應靈敏，隨心所欲，以最短的時間、最小的代價、最快的速度、最大的戰果，贏得勝利。

通過介紹這個案例，相信學生對數學的重要性會有個大概的了解，數學不是與實際毫不相干的，而是緊密結合在一起的。

三、在教學中巧妙地穿插數學模型的相關知識

數學模型是能使數學與生活相聯系體現數學的工具。建立模型需要一定的生活情景作為依托，學生能體會到實際情景中的數學，在建立模型，形成新的數學知識的過程中，學生能更加體會到數學與大自然和人文環境的自然聯系。

例如數學模型在求二元函數的通常極值與條件極值，Lagrange乘數法，以及最小二乘法在數學建模中應用也廣。在教學過程中，教師應注意培養學生用方法解決實際問題的能力。此外，常微分方程還是不同專業的大學生在高等數學中共學的內容。如何建立常微分方程，解常微分方程是建立數學模型解決實際問題的有力工具。為此，在傳統數學課程教學中，花時間講如何在實際問題中提煉微分方程并且求解，能培養學生提煉問題本質的能力。例如流言蜚語問題、養老保險問題、疾病傳播問題等，都可以利用常微分的知識建立一些最基本的模型。再比如，1990年伊拉克點燃了科威特的數百口油井，濃煙遮天蔽日，美國及其盟軍在發動“沙漠風暴”以前，曾嚴肅地考慮點燃所有油井的后果。據美國《超級計算評論》雜志披露，五角大樓要求太平洋—賽拉研究公司研究此問題。該公司利用Navier-Stokes方程和有熱損失能量方程作為計算模型，在進行一系列模擬計算后得出結論:大火的煙霧可能招致一場重大的污染事件，它將波及波斯灣、伊朗南部、巴基斯坦和印度北部，但不會失去控制，不會造成全球性的氣候變化，不會對地球的生態和經濟系統造成不可挽回的損失。這樣才促成美國下定決心。教師通過運用高等數學知識解決實際問題，可以讓學生充分感受到數學的重要性。

參考文獻:

[1]J.N.Kapur.數學家談數學本質.北京大學出版社，1989.

[2]A.N.Whitehead，Science and the Modern World.Cambridge University Press，1932.

[3]王樹禾.數學思想史[M].北京:國防工業出版社，2003.