探求高考題中二面角的解題方法

化學(xué)是一門實驗科學(xué)，考查學(xué)生的實驗?zāi)芰蜔o疑處于重要的地位，高考化學(xué)實驗題賦分較高(2010年占全卷分?jǐn)?shù)20%)，但它往往又是得分率較低的題目，因此化學(xué)實驗?zāi)芰δ芊裉岣撸呷瘜W(xué)實驗備考得成功與否，是高考能否制勝的關(guān)鍵之一。隨著高考的臨近，對實驗備考策略的研究及應(yīng)用就顯得尤為重要。

一、溫故知新——回顧近年實驗

1.試題的形式

近幾年高考試卷實驗題呈現(xiàn)方式主要有兩種，即第Ⅰ卷的選擇題和第Ⅱ卷的綜合實驗題。其中第Ⅰ卷有兩題，2009年的兩個題目均要用化學(xué)1、選修4、選修5三個模塊的知識來解答。

2.涉及的主干知識及特點

選擇題兩題，一題(單選、中等難度)以實驗裝置圖判斷等形式從基本實驗事實或操作方面命題，另一題(雙選、中等難度)從基本實驗裝置或操作方面命題。涉及的知識有:物質(zhì)的分離，如萃取、溶解、過濾、蒸餾、分餾等;物質(zhì)的鑒定和鑒別;離子的檢驗;溶液的配制(包含配制一定物質(zhì)的量濃度溶液、一定質(zhì)量分?jǐn)?shù)溶液、FeCl類型考慮水解因素溶液);有機物制備裝置(乙酸乙酯);氣體的制備(NH)、干燥(HCl、Cl)、收集(NH)、吸收、提純;裝置的氣密性檢查;儀器的使用(容量瓶)、洗滌;藥品的保存，等等。

第Ⅱ卷的綜合實驗題(中等難度)涉及知識為:物質(zhì)的制備(條件、分離、繪圖等)、定量測定有害離子含量(計算、儀器、誤差、實驗原理和技術(shù))、環(huán)境污染測定(實驗方案設(shè)計、實驗探究、比色法)、飲用水的處理(測定離子含量、離子方程式、實驗探究、計算等)等。這道題的最大特點是基于實際化工生產(chǎn)背景(真實情景)，更好地體現(xiàn)了實驗綜合題考查的原則，即體現(xiàn)公平性、真實性、應(yīng)用性、思維性與探究性。實驗考查所涉及的領(lǐng)域主要是:化學(xué)的核心概念和基本原理的考查、化學(xué)對人類社會的貢獻、體現(xiàn)應(yīng)用、關(guān)注社會、關(guān)注生活、關(guān)注生產(chǎn)等實際應(yīng)用的考查、對學(xué)生化學(xué)素養(yǎng)和化學(xué)學(xué)科能力的考查。

這些考查符合考綱要求學(xué)生“掌握化學(xué)實驗的基本方法和技能”，注重化學(xué)實驗的“科學(xué)性、可行性、簡約性、安全性”，能力測試上“具有較強的問題意識，能夠在給定情境中通過分析、判斷提出有探究價值的化學(xué)問題的能力”，“能運用觀察、實驗、閱讀資料等多種手段收集證據(jù)，能運用比較、分類、歸納、概括等方法形成探究結(jié)論”。

回顧近年高考試卷設(shè)題情況，可以幫助我們明確沖刺階段應(yīng)備考些什么。溫故而知新，了解近年高考試卷，可以開拓我們的視野，使備考有所發(fā)現(xiàn)，有所進步。

二、高瞻遠(yuǎn)矚——研讀考試說明

高考《考試說明》是高考的指揮棒，我們應(yīng)認(rèn)真研讀《考試說明》，吃透高考化學(xué)實驗考查的精神實質(zhì)，明確備考的目標(biāo)和方向，以達到事半功倍的復(fù)習(xí)效果。把2010年“說明”上對實驗的要求與2009年進行比較，找出改動、刪減、增加部分，認(rèn)真研讀這些變化，尤其是典型題示例變化試卷，可以進一步參透考綱精神，可以進一步明確高考究竟考什么，可以在沖刺階段擺正復(fù)習(xí)的主攻方向。

研讀2010年的高考化學(xué)《考試說明》我們發(fā)現(xiàn)，與2009年的《考試說明》相比，實驗部分的變化為以下幾點:

1.把“了解控制實驗條件的方法，能設(shè)計、評價和改進簡單的實驗方案”改為“了解控制實驗條件的方法，能改進簡單的實驗方案”，去掉“設(shè)計、評價”四字。

2.增加“能綜合運用化學(xué)實驗原理和方法，設(shè)計實驗方案解決簡單的化學(xué)問題，能對實驗方案、實驗過程和實驗結(jié)果進行分析和評價”。

3.化學(xué)實驗分值由試卷的18%提高到20%。

調(diào)整和變化更加凸顯了學(xué)科特色;體現(xiàn)了2010年說明中強調(diào)的江蘇特色——“厚實踐”(即加大實驗和運用的考查)，暗示了實驗題量增大是趨勢。要解讀考綱，不能忽視典型題示例解析的導(dǎo)向功能，要對典型題示例認(rèn)真解讀，我們更要關(guān)注和研究作出這種調(diào)整是源于何種思想。

案例1:典型題示例示例4(題見2010年考試說明，下同)，該題從物質(zhì)的鑒別、溶液的配制、物質(zhì)的提純、膠體的丁達爾現(xiàn)象四個角度考查學(xué)生對化學(xué)實驗的基礎(chǔ)知識和基本技能的掌握程度，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注實驗方案的可行性，考查學(xué)生運用化學(xué)實驗方法解決實際問題的能力。我們就要解讀出為什么關(guān)注這幾個角度?為什么用“引導(dǎo)”這個詞?為什么一直對溶液配制“情有獨鐘”?

案例2:典型題示例5(原題為2009江蘇卷的第6題，需要更正的是《考試說明》上答案應(yīng)為B)，本題以溶液配制、準(zhǔn)確體積標(biāo)準(zhǔn)溶液的量取、混合物的萃取分離、乙酸乙酯的制取中的實驗操作為素材，考查學(xué)生對實驗操作的熟悉程度和實驗原理的應(yīng)用能力，特別是“用量筒量取5.00mL1.00mol·L鹽酸于50mL容量瓶中，加水稀釋至刻度，可配制0.100mol·L鹽酸”選項的判斷，此題顯然是試圖引導(dǎo)中學(xué)化學(xué)教學(xué)關(guān)注化學(xué)實驗操作的真實性。我們就要解讀出為什么關(guān)注這幾個角度?為什么用“特別”這個詞?為什么強調(diào)真實性三個字?同樣對于仍然保留的題型示例，我們也要分析其理由，如2005年實驗題仍保留，應(yīng)該說明它仍是一種方向。

三、厚積薄發(fā)——培養(yǎng)實戰(zhàn)能力

古人讀書講究“厚積薄發(fā)”，實驗備考也一樣，沒有“量”的積累，就很難求“質(zhì)”的突破。要想高考實驗得高分，掌握一定量的知識，并學(xué)會運用遷移很重要。

1.實驗挖掘教材功能

備考過程中應(yīng)悟透考點，復(fù)習(xí)到位。悟透考點，即要明確《考試說明》上實驗部分的知識點，能力點及要求。復(fù)習(xí)到位，就是要參透所有考點，不遺漏任何一個考點，不留死角。教材是命題的基礎(chǔ)，科學(xué)備考應(yīng)回歸教材，以本為綱。備考時要熟悉和理解新教材課本上的演示實驗和學(xué)生實驗(含選做)的原理、操作、現(xiàn)象、結(jié)論，并分析歸納實驗原理、裝置原理和操作原理上的共性和特性，掌握實驗規(guī)律。如常見化學(xué)儀器的用途和使用方法，化學(xué)實驗基本操作(藥品取用，物質(zhì)的溶解，試紙的使用，物質(zhì)加熱，藥品存放，安全事故處理)，混合物分離提純(沉淀、過濾、洗滌、分液)，物質(zhì)的制備(藥品、原理、步驟、收集，檢驗，裝置，尾氣處理等)和物質(zhì)檢驗。實驗儀器的作用(燒瓶與大試管)，實驗裝置的組裝(儀器組裝注意:①防倒流;②防倒吸;③防暴沸;④防堵塞;⑤防潮解;⑥防氧化;⑦防對流;⑧防過分加熱)，實驗操作的目的，藥品的要求(如實驗室制氨氣等)。理解、掌握這些基本知識，并進行知識延伸。把教材實驗內(nèi)容的知識點、熱點轉(zhuǎn)變?yōu)樘接懶缘膯栴}，編寫導(dǎo)讀提綱且指導(dǎo)學(xué)生進行設(shè)問、質(zhì)疑、析疑、激思，來促進實驗復(fù)習(xí)，同時通過典型實驗把元素化合物及基本概念，基本理論的重點知識生長和連接起來，形成知識系統(tǒng)。

案例3.下圖為模擬鐵生銹的實驗。鐵粉中均勻混有少量碳粉，撒入在內(nèi)壁已分別用氯化鈉溶液和稀醋酸潤濕過的甲、乙兩支具支試管。打開止水夾片刻后，以下有關(guān)該實驗的說法合理的是(?搖求二面角是高考題立體幾何部分的重點和熱點問題，它對學(xué)生的空間想象、推理論證、運算求解等基本能力進行了很好的考查。但因其抽象性、綜合性和多變性，很多考生望而生畏。我省正處于傳統(tǒng)教材與新課標(biāo)教材交替之際，我結(jié)合自身教學(xué)實際，探求高考題中二面角的解題策略，供大家參考。

傳統(tǒng)教材二面角的求法:①“一找二證三求”，找出這個二面角的平面角，然后證明我們找出來的這個角是要求的二面角的平面角，最后通過解三角形來求。②通過射影面積來求cosα=(在其中一個平面內(nèi)找出一個三角形，然后找這個三角形在另外一個平面的射影，那么這個三角形的射影面積與原三角形面積之比即為cosα，注意到我們要求的角為α或π-α)。

新課標(biāo)教材引入向量法求二面角:先求兩個平面的法向量所成的角為α，那么這兩個平面所成的二面角的平面角為α或π-α。

對于具體的一道高考題，究竟用哪一種方法好呢?我們先看一道高考題。

例1.(2009全國卷Ⅰ理科18題)如圖，四棱錐S-ABCD中，底面ABCD為矩形，SD⊥底面ABCD，AD=，DC=SD=2，點M在側(cè)棱SC上，∠ABM=60°。

(Ⅰ)證明:M是側(cè)棱SC的中點;

(Ⅱ)求二面角S-AM-B的大小。

證明:(Ⅰ)略。

解:(Ⅱ)方法一:利用二面角的定義找平面角。在等邊三角形ABM中過點B作BF⊥AM交AM于點F，則點F為AM的中點，取SA的中點G，連GF，由于GF∥SM，因此GF⊥AM，則∠GFB即為所求二面角。在△GFB中，由余弦定理可求得∠GFB=π-arccos，即為二面角S-AM-B的大小。(畫圖略)

方法二:向量法。分別以直線DA、DC、DS為x、y、z軸，如圖建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz，則A(，0，0)，B(，2，0)，C(0，0，2)，S(0，0，2)。

可求得平面SAM、MAB的法向量分別為=(，1，1)，=(，0，2)(求法向量過程略)，

∴cos<，>==，

則所求二面角的大小π-arccos。

仔細(xì)分析以上幾種解法，不難發(fā)現(xiàn):

1.方法一很簡捷，但很多學(xué)生由于空間立體感不強，注意不到二面角的兩個面三角形的特殊性，從而失去極佳的解題方法。這要求我們在平時教學(xué)中要提高學(xué)生對空間幾何體的認(rèn)識水平。

2.方法二容易操作，尤其是已知幾何體中存在“三垂直”條件，比較容易建立坐標(biāo)系，所需向量的坐標(biāo)都好求，剩下的就是基本計算，最終把空間幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，這也是新課標(biāo)的基本要求，是發(fā)展趨勢。

3.幾何法與向量法各有利弊:幾何法注重推理論證與空間想象，即難以確定解題思路，而解題過程相對簡明;向量法恰恰降低了以上兩點難度，起到研究幾何圖形的工具作用，從一個新的角度發(fā)展學(xué)生的空間想象力和幾何直觀能力，但是書寫過程較多，要運用熟練節(jié)省考試時間，提高效率。

例2.(2008山東卷20題)如圖，已知四棱錐P-ABCD，底面ABCD為菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，E，F(xiàn)分別是BC， PC的中點。

(Ⅰ)證明:AE⊥PD;

(Ⅱ)若H為PD上的動點，EH與平面PAD所成最大角的正切值為，求二面角E-AF-C的余弦值。

證明:(Ⅰ)略。

解:(Ⅱ)可以證明，EH與平面PAD所成最大角的正切值為時，PA=AB(過程略)，下面求二面角E-AF-C的余弦值。

方法一:因為PA⊥平面ABCD，PA?奐平面PAC，所以平面PAC⊥平面ABCD。過E作EO⊥AC于O，則EO⊥平面PAC，過O作OS⊥AF于S，連接ES，則∠ESO為二面角E-AF-C的平面角，在Rt△AOE中，EO=AE·sin30°=，AO=AE·cos30°=， 又F是PC的中點，在Rt△ASO中，SO=AO·sin45°=，又可求SE=，在Rt△ESO中，cos∠ESO==，即所求二面角的余弦值為。

方法二:由(Ⅰ)知直線AE，AD，AP兩兩垂直，以A為坐標(biāo)原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)PA=2，又E、F分別為BC、PC的中點，所以A(0，0，0)，B(，-1，0)，C(C，1，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)，E(，0，0)，F(xiàn)(，，1)，可求得平面AEF的一法向量為m=(0，2，-1)(求法向量過程略)，因為BD⊥AC，BD⊥PA，PA∩AC=A，所以 BD⊥平面AFC，故 為平面AFC的另一法向量。又=(-，3，0)，求得二面角的余弦值為。

對于解法一，由于二面角的棱不屬于正常擺放，屬于“斜放”，考生不易接受，往往找不出平面角，或把平面角找錯。不僅浪費時間，丟掉分?jǐn)?shù)，更重要的是喪失了解題信心，影響全局。但是如果用向量法，底面ABCD為菱形，不存在垂直關(guān)系，怎么建坐標(biāo)系?仔細(xì)分析后發(fā)現(xiàn)，本題雖然底面ABCD為菱形，但里面隱含著“三垂直”，結(jié)合∠ABC=60°容易找到AE垂直AD。坐標(biāo)系一經(jīng)建立，其他問題便迎刃而解。這里提醒大家，我們要善于利用等腰三角形的中線、菱形的對角線等垂直關(guān)系。

現(xiàn)在我省正處于“傳統(tǒng)大綱”指導(dǎo)下的高考命題和新課標(biāo)教材引領(lǐng)下的課堂教學(xué)交替的當(dāng)口，怎么應(yīng)對這種局面值得我們思考。我認(rèn)為，在重視傳統(tǒng)求二面角方式，并對其適當(dāng)改進和取舍的基礎(chǔ)上，應(yīng)向新課標(biāo)方法靠攏。注意研究新課標(biāo)課本對二面角的設(shè)置:人教A版在《數(shù)學(xué)2》“平面與平面垂直的判定”一節(jié)中，利用修筑水壩、發(fā)射衛(wèi)星等實例，引出二面角的概念，并介紹了二面角平面角的概念，沒有設(shè)計求二面角大小的例題、練習(xí)，只是在習(xí)題中設(shè)置了兩道簡單的以三棱錐、正方體為載體的求二面角大小的題目。二面角大小的計算主要安排在選修2-1的“空間向量與立體幾何”中。由此不難預(yù)測，在不遠(yuǎn)的將來，向量法將成為新課標(biāo)高考中求二面角的主要方法。這兩年的高考命題也一定會向這個方向靠攏，設(shè)計出既可以用傳統(tǒng)方法，又可以用向量方法來計算二面角的題型，因此學(xué)生在平時學(xué)習(xí)時要熟練掌握，如此在考場上才能靈活應(yīng)對。

由于新課標(biāo)突出了用向量來解決立體幾何的有關(guān)問題，因此我建議解決高考題中二面角的問題，可以優(yōu)先考慮建立坐標(biāo)系，用向量來求二面角，但是當(dāng)運用向量不是很方便，尤其是無法順利建立坐標(biāo)系的時候，傳統(tǒng)的解法也要能夠運用自如。

參考文獻:

[1]邱云.二面角的教學(xué)困惑與研究.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2009年第12期上旬.)。