減少解析幾何題運算量的有效途徑——用定義解題

橢圓、雙曲線和拋物線是三種重要的二次曲線，高中數學教材中對它們給出了兩種定義:第一定義和統一定義.第一定義展示了三類曲線各自獨特的性質及幾何特征;統一定義(又叫第二定義)則深刻地揭示了三類曲線的內在聯系，使焦點、離心率和準線等構成一個和諧的整體.這兩種定義，不僅是推導它們各自的方程和它們各自的性質的基礎，也是解題的重要工具.靈活地運用這兩種定義，往往能收到化難為易、避繁就簡的解題效果.

【例1】 一動圓與⊙O1:x2+y2+6x+5=0外切，同時與⊙O2:x2+y2-6x-91=0內切，求動圓圓心的軌跡方程.

解:設動圓圓心為P(x，y)，半徑為R，當⊙P與⊙O1:(x+3)2+y2=4外切時，有

|O1P|=R+2.①

當⊙P與⊙O2:(x-3)2+y2=100內切時，有

|O2P|=10-R.②

①+②得:|O1P|+|PO2|=12.

由橢圓的第一定義知:動圓圓心P的軌跡是以點O1、O2為焦點，長軸長為12的橢圓.

易得軌跡方程為x236+y227=1.

評析:若用直接法來求軌跡方程，則運算較繁，這里利用定義，大大減少了計算量.

【例2】 在直線l:x+y-4=0上任取一點M，過M且以橢圓x216+y212=1的焦點為焦點作橢圓，問點M在何處時，所作橢圓的長軸長最短?并求出此橢圓的方程.

圖1

解:易知橢圓的兩個焦點為F1(-2，0)，F2(2，0).

過F2向l引垂線l′:y=x-2，求出F2關于l的對稱點F′2，易得F′2的坐標為(4，2)(如圖1所示).

F1F′2的方程為x-3y+2=0.

由x-3y+2=0，x+y-4=0，

解得x=52，y=32.

所以M點的坐標為(52，32)，此時，

|MF1|+|MF2|=|MF1|+|MF′2|=3210+102=210.

易得所求橢圓方程為x210+y26=1.

評析:根據橢圓第一定義，轉化為求l上一點，使其到已知橢圓的兩焦點F1、F2的距離之和最小.運用定義，不僅探明了解題的方向，而且簡化了解題的過程.

【例3】 設F1、F2分別為雙曲線x2a2-y2b2=1的左右焦點，A1、A2分別為該雙曲線的左、右頂點，P為雙曲線右支上的任一點，求證:以A1、A2為直徑的圓既與以PF2為直徑的圓外切，又與以PF1為直徑的圓內切.

圖2

證明:如圖2所示，

易知以A1A2為直徑的圓的圓心為O，

半徑為a.令M、N分別為PF2、PF1的中點，

則|OM|=12#8226;|PF1|，|ON|=12|PF2|.

由雙曲線定義得|PF1|=2a+|PF2|，從而有

|OM|=12(2a+|PF2|)=a+12|PF2|.

這表明，兩圓的圓心距等于兩圓半徑之和，

故以A1A2為直徑的圓與以PF2為直徑的圓外切.

同理，得

|ON|=12|PF2|=12(|PF2|-2a)=12|PF1|-a

所以以A1A2為直徑的圓與以PF1為直徑的圓內切.

評析:運用定義，結合平面幾何知識，不但減少了復雜的運算，降低了證題的難度，而且思路不循常規，別具一格，可以從中充分感受運用定義解題的簡潔美.

【例4】 在雙曲線y212-x213=1的一支上不同的三點A(x1，y1)，B(26，6)，C(x2，y2)與焦點F(0，5)的距離成等差數列，求y1+y2.

解:設與焦點F(0，5)對應的準線l為y=m，雙曲線的離心率為e，A、B、C到l的距離分別為dA、dB、dC，則由雙曲線的第二定義知|AF|dA=e，即dA=|AF|e，由于A點在x軸的上方，所以y1=dA+m=|AF|e+m.

同理可得:yB=|BF|e+m，y2=|CF|e+m.

∴y1+y2=|AF|+|CF|e+2m=2|BF|e+2m=2(|BF|e+m)=2yB=12.

評析:此題若用解析法，則較為繁雜，若用焦半徑公式來解，計算過程也相當簡捷，但若算上公式的推導過程，則也算不得簡明了.

(責任編輯 金 鈴)