2010年高考廣東數學(文科)模擬試題

一、選擇題:本大題共10小題，每小題5分，滿分50分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.

1. 定義集合運算:AB={z|z=xy，x∈A，y∈B}.設A={0.2}，B={x|x2-3x+2=0}，則AB=()

A. {0，-2，-4}B. {0，2，-4}

C. {0，2，4} D. {0，1，2}

2. 若復數z=2sinα-cosα+icosα是純虛數，則tanα的值為()

A. 2 B.C. D.

3. 以一球體的球心為空間直角坐標系的原點O﹐球面上兩點A，B的坐標分別為A(1，2，2)，B(2，-2，1)，則AB=()

A. 18 B. 12C. 3D. 2

4. 若等比數列{an}對一切正整數n都有Sn=2an-1，其中 Sn是{an}的前n項和，則公比q的值為()

A. B. -C. 2D. -2

5. 已知函數f(x)=sinωx-cosωx(ω>0)的圖像與直線y=2的兩個相鄰交點的距離等于π，則為得到函數y=f(x)的圖像可以把函數y=2sinωx的圖像上所有的點()

A. 向右平移 B. 向右平移

C. 向左平移 D. 向左平移

6.“a=-1”是“直線x+y=0和直線x+ay=0相互垂直”的()

A. 充分而不必要條件

B. 必要而不充分條件

C. 充分必要條件

D. 既不充分也不必要條件

7. 若函數y=lnx與y=的圖像的交點為(x0，y0)，則x0所在的區間是()

A. (1，2)B. (2，3)C. (e，3)D. (e，+∞)

8. 已知點P(a，b)(ab≠0))是圓O:x2+y2=r2內一點，直線m是以P為中點的弦所在的直線，若直線n的方程為ax+by=r2，則()

A. m∥n且n與圓O相離

B. m∥n且n與圓O相交

C. m與n重合且n與圓O相離

D. m⊥n且n與圓O相離

9. 在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，在該矩形內任取一點P，則使∠APB≥的概率為()

A. B. 1-C. 1- D.

10. 設定義域為[x1，x2]的函數y=f(x)的圖像為C，圖像的兩個端點分別為A、B ，點O為坐標原點，點M是C上任意一點，向量=(x1，y1)，=(x2，y2)，=(x，y)，滿足x=λx1+(1-λ)x2(0<λ<1)，又有向量=λ+(1-λ)，現定義“函數y=f(x)在[x1，x2]上可在標準k下線性近似”是指||≤k恒成立，其中k>0，k為常數.根據上面的表述，給出下列結論:①A、B、N三點共線;②直線MN的方向向量可以為=(0，1);③“函數y=5x2在[0，1]上可在標準下線性近似”;④“函數y=5x2在[0，1]上可在標準1下線性近似”，其中所有正確結論的序號為( )

A. ①②③ B. ①②④

C. ①③④ D. ②③④

二、填空題:本大題共5小題，考生作答4小題，每小題5分，滿分20分.

(一)必做題(11-13題)

11. 已知函數f(x)=3-x， x>0x2-1，x≤0則 f[f(-2)]= .

12. 已知命題p:x∈R ，x2+2ax+a≤0. 若命題p是假命題，則實數a的取值范圍是.

13. 飛機的航線和山頂C在同一個鉛垂平面內，已知飛機的高度保持在海拔h(km)，飛行員先在點A處看到山頂的俯角為α，繼續飛行a(km)后在點B處看到山頂的俯角為β，試用h、a、α、β、表示山頂的海拔高度為(km).

(二)選做題(14、15題，考生只能從中選做一題)

14.(坐標系與參數方程選做題)已知拋物線C:x=2t2，y=2t，(t為參數)設O為坐標原點，點M在C上，且點M的縱坐標為2，則點M到拋物線焦點的距離為 .

15.(幾何證明選講選做題)如圖，AC為⊙O的直徑，弦BD⊥AC于點P，PC=2，PA=8，則tan∠ACD的值為

.

三、解答題:本大題共6小題，滿分80分.解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟.

16.(本題滿分12分)已知:△ABC中角A、B、C所對的邊分別為a、b、c且sinA·cosB+sinB·cosA=sin2C.

(1)求角C的大小;

(2)若a，c，b成等差數列，且·=18，求c邊的長.

17.(本題滿分12分)如下圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為2的正方形，PB⊥BC，PD⊥CD，且PA=2，E點滿足=.

(1)證明:PA⊥平面ABCD .

(2)在線段BC上是否存在點F，使得PF∥平面EAC?若存在，確定點F的位置，若不存在請說明理由 .

18.(本題滿分14分)已知二次函數f(x)=ax2+bx-1，

(1)方程ax2+bx-1=0(a，b∈R且a>0)有兩個實數根，其中一個根在區間(1，2)內，求a-b的取值范圍.

(2)若集合P={1，2，3}，Q={-1，1，2，3，4}，分別從集合P與Q中隨機取一個數作為a，b，求函數f(x)=ax2+bx-1在[-1，+∞)是增函數的概率.

(3)設點(a，b)是區域a+b-8≤0，a>0，b>0內的隨機點，求函數f(x)=ax2+bx-1在[-1，+∞)是增函數的概率.

19.(本題滿分14分)已知數列{an}的前n項和為Sn，且點Pn(Sn，an)(n∈N*)總在直線x-3y-1=0上.

(1)求數列{an}的通項公式;

(2)設Tn為數列{}的前n項和，若對n∈N*總有Tn>成立，其中m∈N* ，求m的最小值.

20.(本題滿分14分)已知橢圓C1:+=1(a>b>0)的離心率為，直線l:x-y+2=0與以原點為圓心，以橢圓C1的短半軸長為半徑的圓相切.

(1)求橢圓C1的方程;

(2)設橢圓C1的左焦點為F1，右焦點為F2，直線l1過點F1且垂直于橢圓的長軸，動直線l2垂直直線l1于點P，線段PF2的垂直平分線交l2于點M，求點M的軌跡C2的方程;

(3)若A(x1，2)、B(x2，y2)、C(x0，y0)是C2上不同的點，且AB⊥BC，求y0的取值范圍.

21.(本題滿分14分)已知函數f(x)=lnx，g(x)=ax2-x(a≠0).

(Ⅰ)若函數y=f(x)與y=g(x)的圖像在公共點P處有相同的切線，求實數a的值并求點P的坐標;

(Ⅱ)若函數y=f(x)與y=g(x)的圖像有兩個不同的交點M、N，求a的取值范圍;

(Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下，過線段MN的中點作x軸的垂線分別與f (x)的圖像和 g (x)的圖像交S、T點，以S為切點作f (x)的切線l1，以T為切點作g (x)的切線l2.是否存在實數a使得l1∥l2，如果存在，求出a的值;如果不存在，請說明理由.

2010年高考廣東數學(文科)模擬試題參考答案

一、選擇題:

解析:1. C.A={0，2}，B{1，2}，則 AB={0，2，4}，故選C.

2. D.依題意2sinα-cosα=0，cosα≠0，tanα=，故選D.

3. C.由空間兩點間距離公式得AB==3.

4. C.當n=1時，S1=2a1-1，得a1=1;當n=2時，1+a2=2a2-1，得公比q=a2=a1q=2，故選C.

5. A.依題意y=f(x)的周期為π，∴ω=2，∴f(x)=2sin(2x-)=2sin2(x-)，故選A.

6. 由x+y=0，x+ay=0，1×1+1×a=0，解得a=-1，故選C.

7. 因x0是函數f (x)=lnx-的零點，而f (2)<0，f (3)>0，∴x0所在的區間是(2，3)，選B.

8. A. 由點P(a，b)(ab≠0)是圓O:x2+y2=r2內一點，得=r，故n與圓O相離.

9. D.如右圖:以AB為直徑作半圓，則當點P落在半圓的內部(包括邊界)時，∠APB≥，故P===，故選D.

10. 由=λ+(1-λ)，得-=λ(-)，即=λ，故①成立;令N(x0，y0)，由=λ+(1-λ)，得(x0，y0)=[λx1+(1-λ)x2，λy1+(1-λ)y2]知②成立; 對于函數y=5x2在[0，1]上，易得A(0，0)，B(1，5)，所以M(1-λ，5(1-λ)2)，N(1-λ，5(1-λ))，從而==5(λ-λ2)=-5(λ-)2+≤，故函數y=5x2在[0，1]上可在標準下線性近似，可知③成立. 從而選A.

二、填空題:

11. ;12. 0

11. ∵-2≤0，∴f(-2)=(-2)2-1=3.又∵3>0，∴f(3)=3-3=，∴f(f(-2))=f(3)=.

12. 因為命題p是假命題，則p:x∈R，x2+2ax+a>0是真命題，所以△=4a2-4a<0，解得a的取值范圍是0

13. 如圖在△ABC中，由正弦定理得=，∴BC=. 在Rt△BDC中CD=BCsinβ=，∴CE=h-CD=h-(km). 〔或CD=ADtanα=(a+BD)tanα，BD=CDtanβCD=，∴CE=h-CD=h-.〕

14. 拋物線的普通方程為y2=2x，則其準線的方程為x=-，由點M的縱坐標為2得其橫坐標x=2，由拋物線的定義得MF=2-(-)=.

15. 由相交弦定理和垂徑定理得:BP 2=PC·PA=16，BP=4. ∵∠ACD=∠ABP，∴tan∠ACD=tan∠ABP===2.

三、解答題:

16. 解:(1)∵sinA·cosB+sinB·cosA=sin2C，∴sin(A+B)=sin2C，∵A+B=-C，∴sin(A+B)=sinC，∴sinC=sin2C=2sinCcosC.

∵00，∴cosC=，∴C=.

(2)由a，c，b成等差數列，得2c=a+b. ∵·=18，即abcosC=18，ab=36. 由余弦定理得:c2=a2+b2-2abcosC=(a+b)2-3ab，∴c2=4c2-3×36，c2=36 ，∴c=6.

17. 解:(1)證明:BC⊥平面PABBC⊥PA. 同理，CD⊥PA，又CD∩BC=C，所以PA⊥平面ABCD.

(2)當F為BC中點時，PF∥平面EAC，理由如下:設AC，FD交于點S，∵AD∥FC，∴==.又∵=，∴PF∥ES. ∵PF平面EAC，ES平面EAC，∴PF∥平面EAC.

18. 解:(1) f (x)=ax2+bx-1，函數的對稱軸為x=-，根據f (0)=-1，且a>0，得f (x)=ax2+bx-1的圖像如圖1:

因為a>0，所以f (1)=a+b-1<0，f (2)=4a+2b-1>0，a>0.設目標函數z=a-b，畫出不等式組a+b-1<0，4a+2b-1>0，a>0所表示的平面區域，如圖2，令a=0，得直線a+b-1=0與軸的交點為E(0，1)，令a=0，得直線4a+2b-1=0與軸的交點為C(0，)，經過比較可知目標函數z=a-b在E(0，1)處取得最小值，其最小值為zmin=-1，所以a-b的取值范圍為(-1，+∞).

(2)由(1)知函數的對稱軸為x=-，因為函數f (x)=ax2+bx-1在[-1，+∞)是增函數，所以x=-≤-1，得b≥2a，且a>0，當a=1時，b=2，3，4，當a=2時，b=4，所求的概率為P1=.

(3)由(2)可知當且僅當b≥2a，且a>0，函數f(x)=ax2+bx-1在[-1，+∞)是增函數.依條件可得試驗的全部結果所構成的區域是a+b-8≤0，a>0，b>0，構成所求事件的區域為b≥2a，a>0，b>0.我們在aOb坐標系上分別作出他們的圖像，如圖3，可知陰影部分為所求，由b=2a，a+b-8=0，可得交點坐標為(，)，所求事件的概率為P2==.

說明:本題以一元二次函數為背景，綜合考查了集合、線性規劃、一元二次方程、不等式、古典概率、幾何概率等知識，還考查了函數與方程與思想、等價轉化思想等，考查同學們綜合運用知識分析問題、解答問題的能力.

19. 解:(1)∵點Pn(Sn，an)(n∈N*)總在直線x-3y-1=0上，∴ Sn=3an+1.

當n=1時，a1 =3a1+1，∴a1=-.當n≥2時，an=Sn-Sn-1=3an-3an-1，2an=3an-1=(n≥2).即數列{an}是首項a1=-，公比q=的等比數列， ∴an=a1qn-1=-×()n-1.

(2)∵an=-×()n-1，∴=-2×()n-1，∴Tn=++…+=-2[1+()+()2+…()n-1]=-2×=-6×[1-()n]>-6.

∵對n∈N*總有Tn>成立，∴必須并且只需≤-6即m≥13，∴m的最小值為13.

20. 解:(Ⅰ)e=，∴e2===，∴2a2=3b2. ∵直線l:x-y+2=0與圓x2+y2=b2相切，∴=b，∴b=，∴a2=3， ∴橢圓C1的方程是+=1.

(Ⅱ)∵MP=MF2， ∴動點M到定直線l1:x=-1的距離等于它的定點F2(1，0)的距離，∴動點M的軌跡是以l1為準線，F2為焦點的拋物線.由=1，得p= 2，∴點M的軌跡C2的方程為y2=4x.

(Ⅲ)由(Ⅱ)知A(1，2)，B(，y2)，C(，y0)，y0≠2，y0≠y2，y2≠2……①

則=(，y2-2)，=(，y0-y2).

又因為AB⊥BC，所以·=0，×+(y2-2)(y0-y2)=0，整理得y 22+(y0+2)y2+16+2y0=0，則此方程有解，∴△=(y0+2)2-4·(16+2y0)≥0，解得y0≤-6或y0≥10，又檢驗條件①:y0=-6時，y2=2，不符合題意.

∴點C的縱坐標y0的取值范圍是(-∞，-6)∪[10，+∞).

說明:本題主要考查求曲線的軌跡方程、一條直線與圓錐曲線的位置關系等基礎知識，考查解析幾何的基本思想方法和綜合解題能力.

21. 解:(Ⅰ)設函數y=f (x)與y=g (x)的圖像的公共點P (x0，y0)，則有lnx0=ax20-x0……①

又在點P有共同的切線，∴ f ′(x0)=g ′(x0)=2ax0-1a=，代入①，得lnx0=-x0.

設h(x)=lnx-+xh ′(x)=+>0(x>0)，所以函數h(x)最多只有1個零點，觀察得x0=1是零點，故有a=1，此時，點P(1，0).

(Ⅱ)法一:由f (x)=g (x)lnx=ax2-xa=.

令r (x)=r′(x)==.

當00，則r (x)單調遞增;當x>1時，r′(x)<0，則r (x)單調遞減，且>0.所以，r(x)在x=1處取到最大值r (1)=1，所以，要使y=與y=a有兩個不同的交點，則有0

法二:根據(Ⅰ)知當a=1時，兩曲線切于點(1，0)，此時變化的y=g (x)的對稱軸是x=，而y=f (x)是固定不動的，如果繼續讓對稱軸向右移動即x=>，得a<1. 兩曲線有兩個不同的交點，當a<0時，開口向下，只有一個交點，顯然不合，所以有0

(Ⅲ)不妨設M(x1，y1)，N(x2，y2)，且x1>x2，則MN中點的坐標為(，)，以S為切點的切線l1的斜率kS=f ′()=，以T為切點的切線l2的斜率kT=g ′()=a(x1+x2)-1.

如果存在a使得kS=kT，即=a(x1+x2)-1……①

而且有lnx1=ax21-x1和lnx2=ax22-x2，如果將①的兩邊同乘x1-x2，得=a(x 21-x 22)-(x1-x2)，即=ax 21-x1-(ax 22-x2)=lnx1-lnx2=ln，也就是ln=.

設=>1，則有ln =(>1). 令h()=ln -(>1)，則h ′()=-=.

∵ >1，∴h ′()>0.因此，h ()在[1，+∞)上單調遞增，故h ()>h (1)=0. 所以，不存在實數a使得l1∥l2.

說明:函數解答題在壓卷位置出現得比較多，屬于難題.文科多考查對數函數、指數函數、分式函數以及復合而成的新穎函數的單調性、最值、參數的取值范圍等類型.利用導數這個十分有效的處理函數問題的工具，需要對參數分類處理，其怎樣分?為什么分?分幾類等需要思考清楚的.

(本試題由珠海市斗門一中數學科組擬制)

責任編校徐國堅