運用特殊化方法解答數學客觀題(之三)

參變量問題綜合性比較強，在選擇題中出現的頻率很高，完全可以實現“巧解”，請看下面的例子:

例題 (上海2010屆聯考)若函數y=x-+在(1，+∞)上單調遞增，則實數a的取值范圍是()

A. (-∞，-1]B. [-1，+∞) C. (-∞，1] D. [1，+∞)

解析 這是y=ax+的函數模型，應用廣泛，往往需借助導數求單調性，過程比較復雜，不是解選擇題的“首選”.其實，出題者在設計答案的時候，往往把各個答案設計得“似是而非”，這無形中使得各答案十分接近，互相聯系. 如果通過對比分析“看出”其中的奧妙，我們就能迅速“看出”答案，計算量將大大減少，甚至不用計算.本題是要看哪個范圍滿足函數y=x-+在(1，+∞)上單調遞增，我們可以用選擇支中的數值去檢驗是否滿足題目的條件，求得正確答案.正因為如此，就要特別注意檢驗的方法，使檢驗的次數盡量少，檢驗的過程盡量簡單.

我們先“看”四個選擇支，B、C有0，A、D無0，先試a=0，得到函數的特殊形式y=x，顯然在(1，+∞)單調遞增，排除A、D.再“看”B、C，如果繼續用a的其它數值驗證，勢必要對y=x-+的單調性進行研究，這是我們在解選擇題應該避免的.因為x與a兩個變量是相互制約，既然我們可以根據a的范圍確定x的范圍，那么我們也能根據x的范圍來確定a的范圍.取x1=2，x2=4，y1=2，y2=4+，使函數在(1，+∞)是增函數，須2<4+，a>-8，排除C，故選B，整題的解法基本不用算，能直接“看出”答案.

反思 根據題目特點迅速用0驗證，體現了思維的敏捷性，特別是0在檢驗中發揮的作用不可小看，用0代入得到的形式往往非常簡單，容易判斷其性質.從用a的值驗證x的范圍，到反過來用x的值驗證a的范圍，體現了思維的發散性，在解題中要善于進行這樣的轉換.

解題時要防止犯如下錯誤:

1. 不講方法，盲目驗證.有些同學也懂得用選擇支的數值去“驗證”，可是因為不懂得驗證的方法，像“盲人騎瞎馬”，亂撞一陣，最后無法做出取舍導致做錯. 應該對函數的結構和各個選擇支的特點進行認真分析，找出差異，找準突破口，這是解題的關鍵.

2. 本題在排除A、D后，若再取a的特殊值驗證則是不可行的，例如:取a=±2檢驗(因為2∈B，-2∈C)，得到兩個函數y=x-+1，y=x+-1，這兩個函數誰在(1，+∞)單調增呢，需用導數求解.若通過x取特殊數字檢驗誰在(1，+∞)單調遞增則會做錯，因為它們的一個單調遞增區間分別是(0，+∞)和(，+∞)，在(1，+∞)取特殊數字驗證其單調性很難區分，導致做出錯誤選擇.

變式練習1 若不等式x2+ax+1≥0對一切x∈(0，]恒成立，則a的取值范圍是()

A. [0，+∞) B. [-2，+∞)

C. [-，+∞) D. [-3，+∞)

解析 直接解法有多種，都比較繁，作為選擇題，我們一概不用.我們完全可以根據選擇題的特點輕松求解:“看看”四個答案，就“看出”其中的奧妙了:[0，+∞)[-2，+∞)[-，+∞)[-3，+∞)，前面的都是后面的子集，根據這個特點，只要按照-3、-、-2、0的順序檢驗，就能快速求解，為什么要用這個順序呢?因為如果先驗證小的集合，即使滿足條件也不能排除范圍比它大的集合是否成立;而先驗證范圍大的集合，若滿足條件則可以排除選擇其子集:令a=-3，x2+ax+1=x2-3x+1≥0在x∈(0，]不恒成立.再令a=-，x2+ax+1=x2-x+1≥0在x∈(0，]恒成立，所以答案是C.

反思 找到合理的順序進行檢驗是本法解題的關鍵，防止盲目驗證或從頭至尾一個一個驗證，本題尤其要注意不能選擇集合的范圍從小到大來檢驗.

變式練習2 (2010廣州攻關訓練)已知命題P:關于X的方程x2-ax+4=0有實根;命題Q:關于X的函數y=2x2+ax+4在[3，∞)是增函數.若“P或Q”是真命題，“P且Q”是假命題，則實數a的取值范圍是()

A. (-12，-4]∪[4，∞) B. [-12，-4]∪[4，∞)

C. (-∞，-12)∪(-4，4)D. [-12，∞)

解析 本題是命題、簡易邏輯與二次函數的綜合，由于要討論，使得問題變得“撲朔迷離”，直接解題的話就會“陷入沼澤”，因此萬不可“強攻”，應當“智取”:先“看”四個答案，A、B無0，C、D有0，所以先檢驗0.當a=0，命題P不成立，命題q成立，因此符合題意，故排除A和B，再“看”C、D， C沒有-12，D有，所以先驗證-12，P、Q都成立，不符合題意，所以選C.

反思 本題雖然形式較復雜，由于解題的思路明確，所以解答過程十分簡單，幾乎就是“看出”來的，無需計算.

啟示 關于參變量問題的選擇題，也包括其它與字母取值有關的選擇題的解法，關鍵是思路的轉換.若按照習慣思維直接去解題，計算量大、繞的彎多、花費時間長并且很可能做錯或無功而返，若按照各選項的特點巧妙檢驗，很可能易如反掌，不同做法，真是“水火兩重天”，遇到此類問題，同學們不妨一試.

責任編校徐國堅