形不同而質相同

我們經常說，解題不是為了就題解題，學習最重要的是掌握本質的東西，而不是形式的題，那是因為盡管命題形式會發生改變，但問題的實質卻沒有變.也就是所謂的“以不變應萬變”.例如，本文下面論述的就是這樣一個道理.

在基本不等式的復習中，我們講類似問題“已知x，y>0且x+y=1，則+的最小值為__________”的比較好的一種解法是“1的代換”，即如下的解法相信同學們定然已經熟練掌握.

+=(+)·1=(+)·(x+y)=3++≥3+2.

但在考試中并不一定會直接考這種形式，例如可以是下面的4種形式，而如果同學們不能從本質上去認識他，則解題時毫無疑問會受到很大的阻力.

1. 設00，b>0，a，b為常數，則+的最小值是__________.

2. 函數y=loga(x+3)-1(a>0，a≠1)的圖像恒過定點A，若點A在直線mx+ny+1=0上，其中m，n>0，則+的最小值是__________.

3. 設=(1，-2)，=(a，-1)，=(-b，0)，(a>0，b>0)，O為坐標原點，若A、B、C三點共線，則+的最小值是

.

4. 已知M是△ABC內的一點，且·=

-2，∠BAC=150°.定義:f(M)=(m，n，p)，其中m，n，p分別為△MBC，△MCA，△MAB的面積，若f(M)=(，x，y)，則+的最小值是__________.

以上四道題是今年高考復習模擬題中出現的試題，同學們的錯誤率相當高.其實，這四道題最終的考查落腳點是相同的，即都是基本不等式中“1的代換”的解法的考查，不同的是它們分別采用了不同的命題載體.下面我們就具體的分析一下這四道題.

第1題:這一題命題時采用了將條件x+y=1隱含在要求的表達式中，即表達式+中的分母滿足x+(1-x)=1，所以可以有解法:

+=(+)·1=(+)·[x+(1-x)]=a2+b2++≥a2+b2+2ab，所以+的最小值是(a+b)2.

反思:隱含條件的挖掘問題.題1中x+(1-x)=1是隱含條件，有了這個條件原問題便豁然開朗了.在實際解題中，同學們還應該注意對另一個比較常見的隱含條件的挖掘，即平方和為常數.因為有了這個條件，我們就可以用三角換元思想來解題.例如，求函數y=+的值域.題中實際上隱含著()2+()2=1，并且再注意到≥0，≥0，所以我們就可以用同角三角基本關系式的平方關系來解題，即可設=cosα(0≤α≤)，則=sinα，故原函數為y=cosα+sinα=sin(α+)，注意到≤α+≤，≤sin(α+)≤1，所以得函數y=+的值域為[1，].

第2-4題:這三道題命題時采用了將條件x+y=1隱含在其他一些知識中，即要求同學們根據題中的條件自己來求得變量和的具體值是多少，具體點說:

第2題:因為函數y=loga(x+3)-1可由對數函數y=logax先向左平移3個單位、再向下平移1個單位得到，而對數函數y=logax過定點A(1，0)，所以函數y=loga(x+3)-1過定點A(-2，-1)，又因為點A在直線mx+ny+1=0上，所以2m+n=1，故(+)(2m+n)=4++≥8.

反思:函數過定點問題.相信同學們對一些基本函數(如冪函數、指數函數、對數函數等)過的定點一定記憶深刻，但除此還遠遠不夠，我們還需要能靈活運用并變通，例如平移，題2實際就是對數函數的定點的平移，許多同學都是因為求錯了平移后的定點而導致解題失敗.當然，我們還要能夠求稍復雜的直線的定點，例如直線(2+m)x+(1-2m)y+(4-3m)=0過的定點如何求呢?有兩種常見解題思路.思路1:求2條特殊直線的交點，即取2個特殊的m值，例如可以是m=-2，m=，聯立方程5y+10=0，x+=0得定點(-1，-2).另一種思路是變量分離，即將方程化成關于m的一元一次方程(x-2y-3)m+2x+y+4=0，則由x-2y-3=0，2x+y+4=0得定點(-1，-2).

第3題:由A、B、C三點共線知∥，即=(a-1，1)，=(-b-1，2)平行，所以2(a-1)-(-b-1)=0，即2a+b=1，故(+)(2a+b)=4++≥8.

反思:三點共線問題.同學們應該熟記三點共線的一些常用結論，如∥、kAB=kAC、=λ+μ(其中λ+μ=1)等，本題就是用了∥.

第4題:根據題中定義的函數的含義，可以知+x+y=S△ABC，所以問題就成為求S△ABC.由·=cos∠BAC=-2，可得=4，再由三角形的正弦面積公式就可以求出S△ABC=sin∠BAC=1，于是+x+y=1，即x+y=，所以+=2(+)(x+y)≥8.

反思:對于信息題問題，同學們常常抱有恐懼心理，認為此類題老師沒講過，肯定比較難.其實，這完全是杞人憂天.相反，同學們只要認真審題，領會題中信息(如定義、法則、概念、定理等)的含義，就能十分容易做出來的.例如，本題實際是一道自定義函數問題，只要同學們仔細研讀函數的定義，就能夠理解到其實質就是三角形面積的分割，即S△MBC+S△MCA+S△MAB=S△ABC.

從前面四道題的形不同而質相同的分析中，同學們可以得到啟示:

(1)在高考復習中需要對一些問題進行整理、總結，這是同學們最缺少的.在同學們做的大量習題中，其實有許多都是重復的，有些雖看上去是不同的(如本文提及的問題)，但它們的本質是相同的.經過有效的整理后，相信同學們的解題能力會得到不少的提高.當然，整理、總結也不能局限于此，還可以是一些典型問題、重要知識等.

(2)要注意知識點的交匯.在知識的交匯點設計高考試題是高考命題的一條基本原則，現在的高考試題中有很大一部分是此類試題，如果同學們因為沒有注意到這一點，肯定要在考試中失去不少的分數，例如，本文的題2、3、4都是此類試題.

文末再給同學們提供一道針對性練習，請你仔細、認真練習.

練習:設x、y滿足約束條件3x-y-6≤0，x-y+2≥0，x≥0，y≥0，若目標函數z=ax+by(a>0，b>0)的最大值為8，則+的最小值為______________.

分析:用“線定界，點定域”的方法作出約束條件3x-y-6≤0，x-y+2≥0，x≥0，y≥0的可行域如圖1，平行移動直線ax+by=0，

易知在點A(4，6)時取最大值8，所以4a+6b=8，即2a+3b=4，所以(+)(2a+3b)·=(8++)≥2+.

責任編校 徐國堅