圓面積公式的推導及思考

關鍵詞:小學數學;圓面積公式;三角形知識轉換;梯形知識轉換

中圖分類號:G623.5 文獻標識碼:B 文章編號:1009-010X(2010)03-0060-02

一、背景

這是一節圓面積公式推導的教學課。課堂上，教師讓學生動手操作自主探索，放手讓學生將已等分成的16個近似的小三角形，拼成一個近似的已學過的圖形進行推導。教師因勢誘導、啟發學生合作交流后，對已拼成的平行四邊形、長方形、三角形和梯形等進行了評價，從而得出了圓面積的計算公式:“S=πr2”.如:

方法一:把16個近似的三個形都用上，可以拼成一個近似的平行四邊形，如下圖1。

但在課快結束讓學生質疑時，有幾個學生提出擺不出三角形和梯形。教師隨即反問大家:“你們說能不能拼成三角形和梯形?”多數同學異口同聲地回答:“能!”但有幾位提問的學生不甘示弱理直氣壯地說:“不能!”此時，又有一位學生激動地站起來爭辯道:“能拼成梯形，但不能拼成三角形!”大家激烈地爭論起來誰也不肯讓步。教師抬手看了看表下課時間快到，示意大家停止爭論，對少數幾位提出異議的學生說:“剛才你們沒有注意看老師是怎樣拼的，課后再動腦筋拼拼看。”爭論暫時平息下來。為什么拼不出來呢?學生和教師心里都沒有底。

二、思考

圓面積公式”的常規推導思路是:先把一個圓平均分成若干份，然后將其拼成近似的長方形，最后根據長方形與圓的關系推導出圓的面積公式。隨著教學改革的不斷深入，圓面積公式的推導方法已趨于多樣化，這對于開放學生的思維，使學生感悟知識形成的過程、體驗“做數學”的樂趣，起到了引領和促進作用。但從上述教學過程來看，還有許多的問題值得我們去深思去探討。

思考1:將圓“等份”時，當小扇形(也可看成近似的小三角形)的個數滿足什么條件時，才能拼成較大的三角形或梯形呢?

課后，筆者找到了這幾位學生，經了解才知道拼不成三角形和梯形的原因，并不是“沒有注意看老師是怎樣拼的”，而是出在將園等分成的扇形的個數上。這正是長期以來一直沒能引起人們注意和重視的問題。認為將圓任意分成多少等份都可以拼成一個三角形或梯形，諸不知它是有規律的、有條件限制的。那么，將一個等圓分成若干個扇形，當扇形的個數滿足什么條件時，才能拼成較大的近似的三角形和梯形呢?

(1)先研究拼成(等腰)三角形的條件。我們觀察圖(5)(為畫圖方便，用小等腰三角形代替扇形)。可知，如果將每層小等腰三角形的個數依次排列起來，就是一個首項為1，公差為2的等差數列。在這個等差數列中，設a1=1，d=2，項數(層數)為n，前n項的和為Sn(小等腰三角形的總個數)，則有:

現在我們再回過頭來討論以上課例中學生的疑問。多數學生以及教師都是按課本將圓分成16個扇形的(教材上就是這樣分的)，由于16=42，16=52-32，所以既能拼成三角形，也能拼成梯形。而提問的那幾個學生是將圓切成18個相等的扇形，18不是完全平方數，也不能表示為兩個自然數的平方差，所以無論怎樣“再動動腦筋拼拼看”，也總是拼不成三角形和梯形的。有一學生將圓分成了24份，24不是完全平方數，但能表示為兩個自然數的平方差:24=52-12或24=72-52，所以不能拼成三角形卻可拼成梯形。

思考2:不用“拼擺”就推不出圓面積公式嗎?

在長期的教學中，“等分圓并把圓轉化成學過的直邊圖形”進行推導圓面積公式，不僅形成了共識，而且以“等分”為切入點來推導圓面積公式已是順理成章的教法。筆者在長期的教學實踐中發現，不用“拼擺”也能推出圓面積公式。

總之，教學圓面積公式，筆者認為應從“學生會怎樣想”的現實水平出發，讓推導過程自然生成。不管學生是將圓轉化成學過的各種圖形進行“先分再拼后推”(要注意等分的個數)，還是采取“不拼擺直接推導”，都應給予充分肯定。只要是學生經歷了知識的產生和發展的過程，體驗到學習是一種快樂的活動，就不必局限于哪種方法。但作為教師事先一定要鉆透教材，注意“下水實踐”，做到心中有底、有備而教，做到預設和生成相結合。避免“拼不出”和“推不出”的情況發生，以免學生對數學知識的真實性和科學性產生懷疑。為此，新理念的貫徹落實，假若沒有教師知識水平和教學能力的支撐，再美好的新課程改革和設想，必將是一句空話。