用于小學算術應用題自動解答系統的解題策略的分解和表示

【摘要】解題策略能表明應用題中的數量關系，策略分解和表示是小學算術應用題自動解題系統中十分關鍵的一步。共提煉197條解題策略，將其分為三個層次，且提出策略生長圖表明其層次關系，選擇框架知識表示方法表示策略，以構建解題策略知識庫，供自動解題程序調用。

【關鍵詞】小學算術應用題;自動解答系統;解題策略;分解;知識表示

【中圖分類號】G420 【文獻標識碼】A 【論文編號】1009—8097(2010)04—0024—04

一 前言

小學算術應用題輔助學習系統[1-4]和以小學應用題為核心內容的相關科學研究系統[5]在教學和一些心理學測驗[6]的應用情境中被國內外較多地使用，但這些系統都是內置好題目和答案的，不能實現應用題的自動求解，這使得這些系統中的題目數量和題型十分有限，從而嚴重影響了輔助學習和科學研究的效率和效果。故此，計算機自動解答應用題成為提升小學應用題輔助學習系統等相關系統智能化和能否廣泛使用的關鍵。

如欲實現應用題的自動解答，存儲應用題解題策略的知識庫(或稱策略庫)必不可少。計算機將按照策略庫中的策略來決定題目中某幾個數量之間的運算關系。本文即研究和提取小學應用題解題策略、提出解題策略的分層和協調機制及策略的知識表示方法，以便使得解題策略可以合理地存儲在知識庫中，供解題算法調用，進而實現自動解題。

因此本研究在該自動解題系統中的重要性不言而喻，可以說是小學算術應用題自動解題系統能夠解題的關鍵步驟之一。

二 國內外應用題解題策略的研究現狀

1 國內應用題解題策略研究

我國學者多從解答應用題技巧方面來研究解題策略。例如，我國學者孫聯榮等人[7]把問題解決的策略分為兩大類:綜合策略和一般策略。綜合策略就是問題解決的整個過程中所使用的思考策略，而一般策略是指對發現和解決問題具有幫助作用的具體策略。他們把小學數學問題解決的一般策略分為以下幾項:(1)嘗試和檢驗;(2)畫圖;(3)實際操作;(4)找規律;(5)制表;(6)從簡單的情況入手;(7)整理數據;(8)從相反的方向去思考;(9)列方程;(10)邏輯推理;(11)改變觀點。

又如，我國學者李明振[8]在對解決數學問題心理過程研究并借鑒他人的研究基礎上，將解決數學問題的基本策略歸納為如下七種:(1)整體策略;(2)模式識別策略;(3)轉化策略;(4)媒介過渡策略;(5)辯證思維策略;(6)反面思考策略;(7)記憶策略。

但上述研究是通用的數學問題解決策略，本文所講的解題策略是針對不同類型的應用題所具體使用的不同策略，如:時間*速度=距離。下面，程志博士的工作與之更為接近。

程志博士[9]對整數一、二步和分數基本應用題的每一條解題策略作了兩部分工作。一部分是“策略是什么?”另一部分是“這條策略可能對應的字串是什么?”本研究在程志博士論文的基礎上，總結了小學數學一至六年級的應用題(除圖形題和表格題)可能用到的大多數策略，即解決了“小學數學一至六年級應用題可能用到的大多數策略是什么?”的問題。

2 國外應用題解題策略研究

美國心理學家Greeno和Cerpenter根據問題的語義結構將加減一步算術應用題分為變化題、合并題、比較題三種類型。他們所提出的加減一步算術應用題的分類被許多的研究者廣泛采用，并作為研究兒童解決算術應用題過程所選擇的算術應用題研究材料的依據[10]。這三種類型應用題的具體分類為改變類包含結果量未知、改變量未知和起始量未知三個子類，合并類包含總數未知和子集未知兩個子類，及比較類包含差異量未知、被比較量未知和參照量未知三個子類。

Siegbert Schmidt 和 Werner Weiser[11]將一步乘除法分為四類:n倍測度，組合策略，合成操作和公式乘法。

本研究中加減法策略主要采用了美國心理學家Greeno和Cerpenter對加減法的分類方法，在此基礎上豐富了各類的內容。本研究乘除法策略也采用了Siegbert Schmidt 和 Werner Weiser提出的部分理論，將前三類列為乘除法的三類低層策略，而第四類公式乘法是由前三種延伸而來，因此將公式乘法作為前三類的子策略而存在，在此基礎上，本研究豐富了每類策略的內容。

三 研究過程和主要研究方法

研究過程中，首先應用文獻分析法確定策略分類的層次和類別，用有向圖(稱為策略生長圖)邏輯地表示各層策略的結構。然后，人工解答題庫中的5672道應用題(題庫中包含1至6年級各年級各單元各種題型的題目，題目內容豐富、題目難度跨度大)，用比較法、歸納法和聚類分析方法從中總結策略，將總結得出的策略一一植入到策略生長圖中。之后，進行人工評價，應用調查法和訪談法收集評價人的意見并修改和完善策略。再選擇應用題樣本，應用策略進行人工解題檢驗，應用訪談法收集意見并再次修訂后，最終確定小學算術應用題解題策略。之后選擇合適的知識表示方法將分類知識和策略模板知識表示出來。

四 小學算術應用題解題策略分解和邏輯表示

1 小學算術應用題解題策略的分解

小學算術應用題解題策略分為三大類:基本策略、低層策略和高層策略。

基本策略包含加、減、乘、除和比例5種基本運算，小學算術應用題的所有策略都是由此5種運算而來，基本策略總數共15條。

低層策略是由基本策略組成且無法再分解的策略。它們包含的較大的類別有整數、小數四則應用題、分數、百分數應用題、比和比例應用題、幾何形體應用題、其它特殊應用題。其中共包含總結出來的低層策略105條。限于篇幅，僅以“整數、小數四則應用題”類中的部分低層策略(全部為35條)為例布列如下:

從計算機解題角度來說，基本策略和低層策略各個策略之間是平等的、互斥的，沒有重疊和包含。即，兩類策略中的每一條策略都是不可缺少的，不可被替代的，但其中的變量名稱可以被其近義詞替換，替換前后的兩條策略視為同一條策略。

高層策略有兩層含義。一種含義是高層策略是兩個或多個低層策略組合而成的策略，是可再分的策略。目前所列出的高層策略主要是某些典型題型的解題策略，如相遇問題的解題策略、雞兔同籠問題的解題策略等等。這些策略的父策略包括兩個或多個低層策略。另一種含義是高層策略的語義比低層策略更豐富，越往高層，策略的語義越豐富。高層策略中的各個策略之間不一定是平等、互斥的關系，相互之間可以有父子關系。高層策略是可擴展的。目前總結的高層策略共77條，涉及到以下一些問題:余數、和倍、和差、差倍、分割、植樹、平均、相遇、雙程、追及、流水、濃度、盈虧、升降、相離運動、雞兔同籠、火車過橋、環形相遇、納稅與利息、折扣與利潤等。

2 小學算術應用題的邏輯表示及其意義

由于基本策略、低層策略和高層策略之間的繼承和層次關系，可以將所有的策略放在一個策略生長圖中。基本策略是低層策略的父策略，低層策略是高層策略的父策略，高層策略之間也有父子關系，這樣的一張策略生長圖如圖1所示。圖的最高層是具體的應用題題目。

策略生長圖可以邏輯地、立體地表示各種簡單和復雜策略間的關系，一個比較復雜的應用題題目可對應高層策略來解答，簡單的應用題則對應低層策略或基本策略解答，包含多個運算的復合運算的題目由幾個策略聯合起來解答。

本文的解題策略是自動解題中需要的解題知識，存入解題策略知識庫中，程序根據對題目的理解調用知識庫中的知識，調用知識的過程中必然會遇到知識沖突的問題，即同一個題目可以對應超過1條知識來解答，這是由自然語言理解的深度來決定的，本文提出的分層的策略的邏輯表示將十分有利于知識的沖突消解。

五 小學算術應用題解題策略的檢驗

1 小學算術應用題樣本抽取

為了檢驗小學算術應用題解題策略的完備性、合理性、有效性、簡潔度和是否存在冗余，從5672道小學算術應用題的題庫中，利用分層取樣和隨機取樣結合的方法，從1-6年級，每個年級隨機抽取18道應用題，共108道應用題，組成待驗樣本。

2 樣本檢驗結果

(1) 完備性。樣本題目共108道，能夠用以總結的策略庫中的策略解答的題目有102道，不能夠解答的題目有6道。因此樣本的解題率為94.4%。

(2) 合理性。目前總結的策略庫中的策略大部分較易被理解，分類比較合理，能夠被檢驗者接受。

(3) 有效性。經過檢驗，大部分策略能夠有效地解答應用題題目，但還需要總結大量的常識知識，來輔助計算機理解題目，并找到準確的策略。

(4) 簡潔度。檢驗者認為絕大部分策略表達簡潔明了，個別策略中的變量易產生歧義。因此，本研究給出了變量歧義說明，此不贅述。

(5) 冗余度:經過檢驗，某些題目，既可以用低層策略解答，也可以用高層策略解答。但這并非是策略冗余的表現。從計算機解題角度來說，這兩條策略不可互相替代，因為他們分別與題庫中兩種不同問題相對應。對于高層策略來說，對應的題目范圍相對較小，而低層策略對應題目的范圍比較大。既然低層策略可以解題，那么高層策略存在的理由是高層策略語義更豐富，更容易與題目進行匹配關聯，且高層策略與題型相關度比較大，便于以后對學生進行解題輔導。

總體來說，本研究的解題策略分解和表示能夠比較準確全面地解答小學算術應用題。

六 小學算術應用題解題策略的表示方法

本文比較了常用的知識表示方法，最終根據策略知識的特點選擇了框架知識表示法來表示解題策略及這些策略之間的邏輯關系。限于篇幅，僅舉一例如下:

例1:基本策略中的SB1(加數+加數=和)的框架表示

框架名:<加數+加數=和>

本策略:

編號:SB1

名稱:加數+加數=和

描述:加法運算，求兩數之和。

父策略:

編號:0

運算與變量:

運算符:+

變量數:3

變量1:

名稱:加數

代碼:P25

近義詞:

實例:數詞+“加”+數詞(245加上235);

“比”+數詞+“多”+數詞(比67多129)

變量2:

名稱:加數

代碼:P25

近義詞:

實例:數詞+“加”+數詞(245加上235);

“比”+數詞+“多”+數詞(比67多129)

變量3:

名稱:和

代碼:P26

近義詞:

實例:“和”“是”+數詞(和是多少?);

匹配字串:

字串1:……加上……是……?

字串2:……加上……，和是……?

字串3:比……多……的數是……?

字串4:……加上……，得……?

字串5:……，……的和是……?

例題:

例題1:675加上286是多少?

例題2:245加上121，和是多少?

例題3:比78060多3042的數是多少?

例題4:905加上235，得多少?

例題5:475，936的和是多少?

七 總結

本文對小學算術應用題自動解題中需要應用的解題策略進行了研究，對策略分類、分層時主要考慮并合理解決了以下問題:一、怎樣提高總結的解題策略的可讀性，以使后續工作可以以之為基礎順利進行;二、怎樣利于后續的計算機自動解題和自動輔導時進行策略調用。三、小學算術應用題的所有解題策略應該運用一種什么方法將其緊緊聯系起來，如何清楚地將各策略之間的關系表示出來，便于計算機存儲和調用。

本研究主要的創新之處為:(1)國外研究內容主要是一步加減法和一步乘除法的策略整體上的分類。(2)程志博士主要對整數一、二步和分數一步應用題的每一條解題策略做了兩部分工作。一部分是“策略是什么”，另一部分是“這條策略可能對應的字串是什么”。而本研究總結了小學數學一至六年級的應用題(包括一步、二步和多步應用題，除圖形題和表格題)可能用到的大多數策略，即解決了“小學數學一至六年級應用題可能用到的大多數策略是什么”的問題。但本文并非僅僅是策略數量上的增加，而是定義了一套合理的策略分類、分層體系、并使各層策略協調、聯動起來，制定了合理的策略屬性，為計算機存儲策略、調用策略從而正確解題提供了方便。(3)本研究將常識知識和解題策略分開總結。制定了區分常識知識和解題策略的原則。解題策略是指具有運算符號的等式，而不具有這個特點但又是解題不可缺少的知識是常識知識，經過總結、整理，存儲為常識庫。當策略庫中的策略無法解決問題時，計算機程序就需要到常識庫中查找相關常識，根據常識知識轉化已知條件，形成新的已知條件，再從策略庫中尋找解題策略。

后續工作是為每條策略總結匹配的字串，才能最終作為解題策略被計算機調用。目前本課題組正在基于數據挖掘理論和算法探索關鍵字串自動生成的方法。

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