由一道中考題引發(fā)的思考

中考試題凝聚著中考命題專家們的智慧，體現(xiàn)了新課程理念和命題的導(dǎo)向，在解題思路和方法上具有典型性和代表性。學(xué)生應(yīng)深入研究中考試題的解題方法，抓住一些問題中的本質(zhì)屬性和蘊(yùn)含著的重要的數(shù)學(xué)思想方法，并從中總結(jié)規(guī)律，以達(dá)到“以不變應(yīng)萬變”的目的，從而提高解題能力。下面是我對(duì)2009年山西省太原市中考題中第29題的思考和獲得的啟示。

一、試題及其解析

問題解決:例1.如圖(1)，將正方形紙片ABCD折疊，使點(diǎn)B落在CD邊上一點(diǎn)E(不與點(diǎn)C，D重合)，壓平后得到折痕MN。這是一道典型的折疊題，折疊題是通過圖形的展開與折疊，讓學(xué)生親自發(fā)現(xiàn)結(jié)果的來龍去脈，自主探索數(shù)學(xué)家知識(shí)，檢驗(yàn)數(shù)學(xué)結(jié)論，讓學(xué)生在自主的思維活動(dòng)中，建構(gòu)新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。它既能考查學(xué)生的動(dòng)手操作能力，又能考查學(xué)生思維和解題方法的靈活性，如折疊一般是把圖形紙片沿著某條直線對(duì)折，對(duì)折后得到的圖形與原圖形構(gòu)成以這條直線的對(duì)稱軸的軸對(duì)稱圖形，從而得到一些線段相等，再利用其它條件解題。

二、方法總結(jié)

1.利用直角三角形求線段

這里主要利用軸對(duì)稱性得到一些線段相等，再結(jié)合其它線段的長度，然后找直角三角形利用勾股定理得到所求線段的方程，這種方法最為常用。

例2.(2009北京)如圖，正方形紙片ABCD的邊長為1，M、N分別是AD、BC邊上的點(diǎn)，將紙片的一角沿過點(diǎn)B的直線折疊，使A落在MN上，落點(diǎn)記為A′，折痕交AD于點(diǎn)E，若M、N分別是AD、BC邊的中點(diǎn)，則A′N=?搖?搖?搖?搖;若M、N分別是AD、BC邊的上距DC最近的n等分點(diǎn)(n≥2，且n為整數(shù))，則A′N=?搖?搖?搖?搖(n≥2，且n為整數(shù))(用含有n的式子表示)。

這題就是利用直角三角形的方法。

2.利用相似三角形求線段

在原題中有許多直角和對(duì)頂角，就會(huì)產(chǎn)生許多相似三角形，利用相似三角形也可求AM長。

但利用相似三角形求線段長時(shí)，比例式中需已知三條線段，才能求出第四條線段。有些折疊題有一些平行線，也會(huì)產(chǎn)生相似三角形。

例3.(2009年綿陽市)如圖，四邊形ABCD是矩形，AB∶AD = 4∶3，把矩形沿直線AC折疊，點(diǎn)B落在點(diǎn)E處，連接DE，則DE∶AC=?搖?搖 ?搖?搖。

解析:由于△DAC≌△EAC從而得DE∥AC。

∴△DEF∽△CFA得DE∶AC =EF∶AF=EF∶FC。

∵AB∶AD = 4∶3，所以設(shè)AB=4a，AD=3a ， FC=x，則EF=4a- x，

3.利用實(shí)際操作求線段

例4.(2009河南)動(dòng)手操作:在矩形紙片ABCD中，AB=3，AD=5。如圖所示，折疊紙片，使點(diǎn)A落在BC邊上的A′處，折痕為PQ，當(dāng)點(diǎn)A′在BC邊上移動(dòng)時(shí)，折痕的端點(diǎn)P、Q也隨之移動(dòng)。若限定點(diǎn)P、Q分別在AB、AD邊上移動(dòng)，則

解析:由于折疊紙片，使點(diǎn)A落在BC邊上的A′處，折痕為PQ，當(dāng)點(diǎn)A′在BC邊上移動(dòng)時(shí)，折痕的端點(diǎn)P、Q也隨之移動(dòng)。若限定點(diǎn)P、Q分別在AB、AD邊上移動(dòng)，這里A、P、Q都移動(dòng)，如果用計(jì)算的方法很難算。可如果真能折疊一下紙片，就能馬上看出答案為2。

三、教學(xué)啟示

這些方法可單獨(dú)運(yùn)用，也可綜合運(yùn)用，如例3。從這些折疊題總結(jié)出解折疊題的方法，可為以后更好地解決折疊題打好基礎(chǔ)。由此可見，平時(shí)重視數(shù)學(xué)思想方法的歸納與總結(jié)，可以為解決各種問題提供良好的技巧和方法。人們在數(shù)學(xué)探索的過程中獲得了一些重要的思維(思考)結(jié)果，形成了所謂的數(shù)學(xué)思想。把數(shù)學(xué)思想作為解決問題的工具、手段或轉(zhuǎn)化途徑就產(chǎn)生了數(shù)學(xué)思想方法，數(shù)學(xué)思想方法在問題解決的過程中往往起到評(píng)估、決策的作用。所以我們說數(shù)學(xué)思想方法是解題方法與技巧的靈魂，如果在解題過程中缺乏數(shù)學(xué)思想方法的引導(dǎo)，就會(huì)使解題活動(dòng)陷入盲目性，甚至使解題思考紊亂，無從下手。

常見一些學(xué)生發(fā)問:“老師，這道題你是怎么想出的?”這就是一個(gè)數(shù)學(xué)思想方法方面的問題。在解題探索中，若在知識(shí)技能方面不存在太大問題，然而又沒有解題思路，則是由于缺少數(shù)學(xué)思想方法的“領(lǐng)航”，因此在常規(guī)課堂教學(xué)中教師要重視數(shù)學(xué)思想方法的歸納與總結(jié)。