概率論教學中的幾個問題

李天則

（常熟理工學院數學與統計學院，江蘇常熟 215500）

概率論教學中的幾個問題

李天則

（常熟理工學院數學與統計學院，江蘇常熟 215500）

討論了概率論教學中幾個應該注意的問題，分析了國內概率論教材中中心極限定理部分存在的一個問題。

可列可加性；隨機變量；離散；連續；中心極限定理

概率論中有一些概念比較容易混淆和難以理解，初學者學習起來有些困難，往往抓不住實質，理解不透徹。為此，我們給出一些簡單有趣的例子，以利于初學者深入理解教材內容。

一、怎樣理解概率的可列可加性

概率是隨機事件發生的可能性大小，這是概率的描述性定義。為了給出概率的嚴格數學定義，歷史上先后出現了古典定義、幾何定義、統計定義。但是這幾個定義要么適用范圍有限，要么在數學上并不嚴格。直到1933年前蘇聯數學家柯爾莫哥洛夫提出了概率的公理化定義，才使概率論成為一個嚴謹的數學分支。

要完整地描述概率的公理化定義需要測度論的語言，目前國內非數學專業的概率論教材中關于概率的定義大多采用經過簡化處理的公理化定義［1］。概率的公理化定義中很關鍵的一點是可列可加性。初學者很容易接受有限可加性，但對于可列可加性往往感到很迷惑。下面是幾何概型的一個例子，有助于理解概率的可列可加性。

這就解釋了概率的公理化定義中為什么要規定可列可加性．

二、關于概率可列可加性的思考

正是由于引進了可列可加性，概率論才能夠使用數學的其它分支包括測度論的工具和成果，從而得到迅速的發展。但是概率真的是可列可加的嗎？概率的公理化定義能夠處理所有的概率問題嗎？事實上可列可加性排斥了一些有趣的例子。

例2.在自然數集中任意取一數，問恰好取到數1的概率是多少？

本例中樣本空間S是自然數集。顯然恰好取到數1和其余各數的概率都相同，記為p。我們斷言p只能等于0。否則取S的一個有限子集A，使其元素個數n滿足n p＞1。于是，由有限可加性得到P（A）=n p＞1，與P（A）≤1矛盾。然而由p=0及可列可加性，我們又得到P（S）=0，與P（S）=1矛盾。

上述例子說明了在柯爾莫哥洛夫的公理化定義框架下，可列樣本空間中不存在樣本點為等可能的概率模型。

三、概率為0的事件

由概率的定義，不可能事件的概率為0，但概率為0的事件不一定是不可能事件。類似地，必然事件的概率為1，但概率為1的事件不一定是必然事件。這也是初學者容易迷惑的地方。教材中一般會證明這樣一個結論：設X是連續型隨機變量，a是任意實數，那么概率P（X=a）=0。這就解釋了上述事實。但是這比較抽象，下面我們再給出一個具體的、有生活背景的例子。

例3.甲、乙二人約定1點到2點之間在某處碰頭，假設甲、乙二人各自隨意地在1-2點之間選一個時刻到達該處。問甲乙二人在同一時刻到達該處的概率是多少？

本例屬于幾何概型，樣本空間可取為S= （x，y）|0＜x，y＜｝

｛1，所求事件為A=“甲、

乙二人在同一時刻到達該處”= （x，y）|x=y，0＜x，y＜｝

｛1。由于線段的面積為0，故事件A的概率P（A）=0。

從隨機變量的觀點看，我們可以定義Z：S→R為Z（（x，y））=x—y。即Z是甲、乙二人分別到達該處的時刻差。顯然｛Z=0｝就是事件A，所以P（Z=0）=P（A）=0。

上述例子說明了概率為0的事件也有可能發生。一般稱概率為0的事件為幾乎不可能事件，而概率為1的事件為幾乎必然事件。

有趣的是上述隨機變量Z服從辛普森分布（或三角分布）［2］。

事實上Z是連續型隨機變量，其分布函數為

四、既非離散又非連續的隨機變量

教材中一般會提到除了離散分布和連續分布之外，還有既非離散又非連續的分布。但初學者往往對此印象不深，因為教材中的例題一般只討論離散分布和連續分布。請看下面的例子［2］。

由分布函數的三個判別條件（單調性、有界性和右連續性），易知F（x）確是某個隨機變量X的分布函數。因為F（x）既不是階梯函數，又不是連續函數，所以X是既非離散又非連續的隨機變量。

美中不足的是我們不知道F（x）所對應的隨機變量X是什么。下面的例子可以說明X是怎樣產生的。

例5.設有一個周長為2的均勻陀螺，在其圓周的半圓上都標明刻度0，另外半圓上均勻刻上區間（0，1］上諸數字，旋轉這陀螺，求它停下來時其圓周上觸及桌面上點的刻度X的分布函數。

因此，隨機變量X的分布函數確實是例4中的F（x）。

五、中心極限定理教學中的一個問題

下面是中心極限定理的一個典型例子．

例6.某系統由100個相互獨立的部件組成，在運行期間每個部件損壞的概率均為0.1，為使系統正常工作，必須至少有88個部件正常，求整個系統在運行期間能正常工作的概率。

很多教材會給出“標準”解法如下：

解法一：考慮第i個部件，引入隨機變量Xi，若第i個部件損壞，則令Xi取值為0，否則令Xi取值為1，從而根據棣莫弗—拉普拉斯極限定理知所求概率為

注意到二項分布是離散分布，而正態分布是連續分布，所以在用正態分布作為二項分布的近似計算時，通常要做一個“連續性修正”［2，4，5］以提高精度。具體說就是：若k1＜k2均為整數，一般先作如下修正后再用正態近似

P（k1≤X≤k2）=P（k1—0.5≤X≤k2+0.5）。

按照“連續性修正”方法，上述兩個解法將會統一起來，我們考慮一般的情形。

例7.設X～b（n，p），其中n＞＞1，0＜p＜1，另外，k是一個自然數且1＜k＜n，試用中心極限定理估算概率P（X≥k）。

解法一：

將n=1 0 0，p=0.9，k=8 8代入上述結果，知例6中所求概率約為1—Φ（—0.8 3 3）=0.7 9 6 7。顯然這個結果較前面兩個解法的結果精度要高不少。仔細分析以上三種計算方法可以發現，當n足夠大時，三種結果將會相差很小，此時用哪一種方法都可以。但是當n不太大時，還是采用“連續性修正”方法為好。

［1］盛驟，謝式千，潘承毅，等.概率論與數理統計［M］.北京:高等教育出版社，2008．

［2］茆詩松，程依明，濮曉龍，等.概率論與數理統計教程［M］.北京:高等教育出版社，2004：69-70．

［3］翟橋柱.中心極限定理教學中的一個問題［J］.大學數學，2004（4）：125-126．

［4］陳希孺.概率論與數理統計［M］.合肥：中國科學技術大學出版社，2009．

［5］Ross S M.概率論基礎教程［M］.鄭忠國，詹從贊，譯.北京:人民郵電出版社，2010．

Some Problems in the Teaching of Probability Theory

LI Tian-ze
(School of Mathematics and Statistics,Changshu Institute of Technology,Changshu 215500,China)

Some concepts in probability theory and a problem in the teaching of central limit theorem are discussed in this paper．

countable additivity;random variable;discrete;continuous;central limit theorem

O211

A

1008-2794（2010）12-0101-03

2010-09-06

李天則（1977—），男，福建南安人,常熟理工學院數學與統計學院講師，博士，主要研究方向為有限群論。