數(shù)學(xué)方法在物理圓周運(yùn)動(dòng)中的應(yīng)用

物理學(xué)與數(shù)學(xué)的關(guān)系最為密切。數(shù)學(xué)方法在中學(xué)物理教學(xué)中的靈活運(yùn)用對(duì)學(xué)生的物理學(xué)習(xí)有很大幫助。下面筆者對(duì)在圓周運(yùn)動(dòng)教學(xué)中遇到的問題，談?wù)勅绾芜\(yùn)用數(shù)學(xué)方法求解。

一、利用不等式求解

如圖1所示，在水平放置的可旋轉(zhuǎn)的圓盤上，放一勁度系數(shù)為k、質(zhì)量可忽略不計(jì)的輕彈簧，它的一端固定在軸上，另一端拴一質(zhì)量為m的小物體A，這時(shí)彈簧沒有形變，長(zhǎng)為L(zhǎng)0，物體A與盤面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，且設(shè)最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力。當(dāng)角速度為ω時(shí)，求A隨盤做圓周運(yùn)動(dòng)的最大半徑Lm是多少？

學(xué)生解答：設(shè)當(dāng)速度為ω時(shí)摩擦力為f，且指向圓心，半徑為L(zhǎng)，則有：k(L-L0)+f=mω2L ①

要使L最大，即f要最大且方向指向圓心，所以f=μmg。

∴ Lm= ②

解析乍一看，答案是正確的，其實(shí)不然，該答案應(yīng)該是在一定條件下才是正確的。下面我取一組具體的數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算驗(yàn)證：

當(dāng)取L0=0.5 m， k=20 N/m， ω=4 rad/s，uμ=0.5，m=1 kg時(shí)，

得 Lm===1.25 m 。

也即是半徑的最大值為1.25 m，如果取半徑大于1.25 m進(jìn)行計(jì)算時(shí)，物體將不能穩(wěn)定在圓周軌道上。

如果我們?nèi)“霃絃=2 m進(jìn)行計(jì)算，

則：①式左邊=k(L-L0)+f=20×(2-0.5)+5=35 N 。

①式右邊=mω2L=1×42×2=32 N 。

∵此時(shí)，摩擦力只需2 N，就能提供所需的向心力，

∴小物體能穩(wěn)定在半徑為2 m的圓周軌道上。也就是說(shuō)1.25 m并不是最大半徑。

但本題如果應(yīng)用數(shù)學(xué)中的不等式知識(shí)求解，就可以得出正確答案。

答案：設(shè)當(dāng)角速度為ω時(shí)摩擦力為f，且指向圓心，半徑為L(zhǎng)，則有

k(L-L0)+f=mω2L，得 L=。

討論1：當(dāng)k-mω2>0，則kL0-f>0

要L最大，即f=μmg，f方向背離圓心，

此時(shí)Lm=。

討論2：當(dāng)k-mω2<0時(shí)，則kL0-f<0。

要L最大，即f=μmg，f方向指向圓心。

此時(shí)Lm= 。

二、利用求根公式求解

例2用一條細(xì)線把一個(gè)大圓環(huán)掛起來(lái)。環(huán)上有兩個(gè)質(zhì)量為m的小環(huán)，它們可以在大環(huán)上無(wú)摩擦地滑動(dòng)，如圖2，如兩小環(huán)同時(shí)從大環(huán)頂點(diǎn)釋放并沿相反方向自由滑下。若大環(huán)要被升起，它的質(zhì)量M和小環(huán)質(zhì)量m之比的最大值應(yīng)該是多少？問當(dāng)=時(shí)，大環(huán)開始上升時(shí)的角度θ的余弦值是多少？

解析：取小環(huán)為研究對(duì)象，大環(huán)給小環(huán)的作用力為F，則mgcosθ+N=。

又根據(jù)機(jī)械能守恒：mgR(1-cosθ)=，當(dāng)大環(huán)被提起時(shí)：Fcosθ=。

聯(lián)立以上三式得：cos2θ-+=0。

用求根公式得：cosθ=。

當(dāng)△=1-3M/2m≥0，即≤時(shí)，有最大值為。

當(dāng)=時(shí)，可得cosθ=。

當(dāng)cosθ=時(shí)，θ=arcos，此時(shí)大圓環(huán)開始向上運(yùn)動(dòng)，

故θ=arcos，應(yīng)當(dāng)舍去。

以上的兩題都是圓周運(yùn)動(dòng)中較為常見的題型。運(yùn)用數(shù)學(xué)方法解決物理問題，其關(guān)鍵在于把有關(guān)物理量之間的聯(lián)系條件及限制條件全部找出來(lái)，并把這些條件歸納為數(shù)學(xué)方程。◆(作者單位：江西省南昌市第十中學(xué))

□責(zé)任編輯：周瑜芽