深入研究教材 例析導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

摘 要:微積分的創(chuàng)立是數(shù)學(xué)發(fā)展史中的里程碑，它的發(fā)展及應(yīng)用開創(chuàng)了向近代數(shù)學(xué)過渡的新時期，它為研究變量與函數(shù)提供了重要的方法和手段，導(dǎo)數(shù)的概念是微積分的核心概念之一，它的引入為解決中學(xué)數(shù)學(xué)問題提供了新的視野。

關(guān)鍵詞:導(dǎo)數(shù) 函數(shù) 單調(diào)性 極(最)值 高考

導(dǎo)數(shù)的廣泛應(yīng)用，為我們解決函數(shù)問題提供了有力的工具，從近幾年的高考命題分析，高考對導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用主要包括求函數(shù)的極值，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，將導(dǎo)數(shù)內(nèi)容和傳統(tǒng)內(nèi)容中有關(guān)不等式和函數(shù)的單調(diào)性、方程根的分布、解析幾何中的切線問題等有機的結(jié)合在一起，設(shè)計綜合試題。本文以選修1-1為基礎(chǔ)，例析導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，點擊高考命題。

一、運用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)圖象問題:函數(shù)圖象直觀地反映了兩個變量之間的變化規(guī)律，由于受作圖的局限性，這種規(guī)律的揭示有時往往不盡人意，導(dǎo)數(shù)概念的建立拓展了應(yīng)用圖象解題的空間。

例1.(選修1-1第91頁例題1)已知導(dǎo)函數(shù)f′(x)的下列信息:當10;當x>4或x<1時，f′(x)<0;當x=4或x=1時，f′(x)=0，試畫出函數(shù)f(x)圖象的大致形狀。

解:當10，可知f(x)在此區(qū)間單調(diào)遞增，

當x>4或x<1時，f′(x)<0，可知f(x)在此區(qū)間單調(diào)遞減，

當x=4或x=1時，f′(x)=0，這兩點為“臨界點”。

綜上，函數(shù)f(x)圖象的大致形狀如圖: